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SCIENCE CENTER T.IBRARY
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GEORGE HAYWARD, M,D. or BOSTON.
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D'ANALYSE
PROFESSE A t'ECOLB POLVTECHNIQUK.
O. HUMDEBT,
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COURS
D'ANALYSE.
32595 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS, Quai des Graads-Augustins, 55.
COURS
D'ANALYSE
PROFESSÉ A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
PAR
G. HUMBERT,
MEMBRE DE L'INSTITUT, PROFESSEUR A L*i:COLE POLYTECHNIQUK.
TOME IL
COMPLEMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
FONCTIONS ANALYTIQUES ET ELLIPTIQUES.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
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PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIRRAIRE
DU BrREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des (irands-Augustins, 53.
1904
(Toni droits réscrTes.)
y^aJX 3Od9.0 3.>3
OCT 11 1907
PRÉFACE.
Le plan de ce Livre lui attirera sans doute deux reproches opposés : les Géomètres s'étonneront d'y voir traitées sî rapide- ment des questions si diverses, sans que la place mesurée à chacune d'elles corresponde à son importance scientifique; les Ingénieurs pourront trouver superflus les Chapitres consacrés aux Fonctions analytiques et aux Fonctions elliptiques.
C'est que l'Ecole Polytechnique n'est ni une école de pure théorie, ni une école de pure application. Elle ne cherche pas à former directement des savants ou des praticiens. Son but, nette- ment défini par ses fondateurs, est de donner à de futurs Élèves- Ingénieurs, militaires ou civils, une instruction scientifique étendue et solide, qui leur permette plus lard non seulement de diriger, mais de perfectionner les services publics auxquels ils seront attachés.
Ces principes généraux déterminent avec précision le caractère du Cours d^ Analyse professé en seconde année.
La place la plus importante y est due aux Théories fonda- mentales dont la Mécanique, la Physique, l'Art de l'Ingénieur ou du Constructeur font un perpétuel usage : j'ai donc consacré la moitié de mes leçons aux Équations difTérenlielles, qui inter- viennent dans la plupart des problèmes que nous posent les Sciences appliquées, et dont l'étude est d'ailleurs la question maîtresse de l'Analyse; j'ai insisté spécialement sur les procédés d'intégration et de réduction, en les éclairant par des exemples
Vlll PHÉPACU.
variés; j'ai donné enfin une idée des méthodes emplojées pour l'étude directe des solutions, principalement dans le cas parti- culier des équations linéaires. En vertu des mêmes principes, j'ai développé avec soin la Théorie des Intégrales multiples, si utile à l'Électricien; j'en ai fait des applications à la Géométrie, à la Mécanique; j')- ai rattaché, en quelques pages, les Intégrales Eulériennes.
Mais le but de l'institution polytechnique n'eût pas été atteint si le Cours d^ Analyse n'avait dépassé ce cadre un peu étroit, mesuré aux besoins actuels des Ecoles d'Ingénieurs : en vue des perfectionnements possibles de l'application, il était indispensable d'aller au delà, en introduisant dans le Cours des nouons mathé- matiques d'un ordre plus élevé, simplifiées cependant par l'effort continu des Géomètres, et mûres pour l'utilisation pratique.
Ce développement de l'instruction a un autre avantage. On ne possède en effet la méthode et la sûreté qui sont nécessaires pour plier à une application nouvelle une théorie d'Analyse, même élémentaire, que si l'on est maître de celle-ci : il convient dès lors de l'avoir dépassée, de connaître ses liens avec les théories voi- sines qui la prolongent et l'illuminent. L'Algèbre, par exemple, et la Géométrie de Descartes, en éclairant la vieille Géométrie d'Euclide, n'en ont-elles pas rendu le maniement plus facile et plus sûr?
On comprend maintenant dans quel but ont élé inscrites au Programme de ce Cours les deux Théories des Fonctions analy- tiques et des Fonctions elliptiques, dans leurs parties élémentaires.
La première, en raison de son importance mathématique, ne peut être ignorée de ceux qui cultivent les sciences exactes; elle intéresse aussi les fonctions réelles, dont elle précise certaines prO|)riétés fondamentales; elle permet d'étudier les solutions des E(|uations différentielles q^iand l'intégration directe est impos- sible; elle conduit enfin à la doctrine des Fonctions elliptiques. Celle-ci, prolongement naturel de la Trigonométrie, offre des
PRÉPACB. IX
applications fécondes et variées à l'Analyse, à la Géométrie, à la Mécanique; ses formules se traduisent en chifTres avec facilité; elles sont simples, souples, d'un maniement aisé, et il serait injuste d^affirmer a priori qu'on en a épuisé toutes les conséquences utiles.
Dans cette partie du Cours, qui remplit le milieu du Volume, j'ai réduit au minimum la théorie pure, en Teflaçant, autant que possible, devant les applications. J'ai pris comme guides les Traités classiques de Briot et Bouquet et de M. Jordan : le point de vue est donc plutôt le point de vue de Cauchy que celui de Weierstrass et d'Hermite. J'ai laissé de côté les méthodes de Riemann : elles m'étaient d'ailleurs inutiles, car les seules fonctions algébriques dont j'étudie l'intégrale dépendent d'une racine carrée. Pour les fonctions elliptiques, j'adopte les principes et les notalions de Weierstrass, en me bornant à signaler l'ancienne fonction sna.
Le Livre complète mon Cours oral par plusieurs propositions générales sur les fonctions uniformes, et, en particulier, par les théorèmes célèbres de M. Mittag-Leffler et de Weierstrass; le Lecteur trouvera également, à la fin du Volume, quelques Exer- cices, traités jusqu'au bout, qui le familiariseront avec l'emploi des fonctions elliptiques.
M. Painlevé a bien voulu me donner, pour la rédaction de mes Leçons, les conseils et les directions les plus utiles; je lui adresse ici tous mes remercîments.
Paris, février 1904.
H. — II.
TABLE DES MATIÈRES.
PREMIÈRE PARTIE.
COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
CHAPITRE I.
INTÉGRALES MULTIPLBS.
Paf«a.
I. — Notion dk l'inti&gralb multiple i
Retour sur la notion d'aire ; expressions de Taire i
Intégrale double 5
Volumes 9
Intégrale triple lo
II. — Calcul des intégrales multiples i a
Lemmes; calcul de Pintégrale double 13
Calcul de l'intégrale triple 18
III. — Applications 21
Volumes ai
Centres de gravité 24
Moments d'inertie 27
IV. — Chanoement de variables dans une intéqrale multiple a8
Coordonnées polaires 28
Cas général 3o
Applications aux aires, volumes» moments d'inertie 37
V. — Aires sur les surfaces 4?
Définition 4?
Exemples 53
VI. — Extension de la notion d'intégrale double et triple 55
Champ inHni 57
Fonction discontinue en un point ou sur une ligne 58
Exemples 60
Intégrales multiples en général 63
XII TABLE DBS MATIÈRES.
CHAPITRE II.
INTÉGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES.
Piffe*.
I. — GÉNÉRALITÉS 66
Intégrale curviligoe 66
Intégrale de surfacr 69
II. — Formules DIVERSES 71
Formule de Riemanii 71
Formule d'Ostrogradsky 77
Formule de Stokes 79
CHAPITRE III.
APPLICATIONS DIVERSES,
ï. — InTÈQRATION sous LE SIGNE / 83
II. — Calcul d'intégrales définies 85
Calcul de / e-^^ dx 85
Intégrale de Fourier 87
m. — Problème dWbel 88
Courbe tautochrone 92
CHAPITRE IV.
FONCTIONS EULKRIENNES.
— Propriétés générales 93
Fonction de seconde espèce 93
Produit de deux fonctions T; fonction de première espèce 94
Valeur approchée de T'Xn) pour n très grand 97
— Applications des fonctions Eulériennbs loi
Calcul d'intégrales 101
Transcendance du nombre e io4
TABLE DBS MATIBRKS.
DEUXIÈME PARTIE.
FONCTIONS ANALYTIQUES ET ELLIPTIQUES.
CHAPITRE I.
THÉORIE DBS FONCTIONS ANALYTIQUES.
I. — GÉNÉRALITÉS ... 109
Fonctions analytiques; unilormité, continuité 109
Fonctions holomorphes ; points critiques ; fonctions méromorphcs. . m
II. — Intégrales définies imaginaires 1 15
Définition de Tintégrale imaginaire 1 15
Théorème fondamental de Cauchy et corollaires 118
m. — Intégrale de Caucuy i a4
Formule de Tintégrale de Cauchy et corollairrs 1 j4
Séries à termes analytiques 1-^9
IV. — Développements en skrik i32
Série de Taylor iSa
Série de Laurent i35
Série de Fourier 1 38
V. — \pplications du développement de Taylor i Jo
Théorème de Liouville i4o
Zéros d'une fonction holomorphe ou méromorphe 1 )o
Pôles d'une fonction méromorphe ; développement polaire i )i
Théorème des résidus i\ti
Théorèmes de Caucliy sur les zéros et les pôles 1 18
YI. — Théorèmes généraux sur les fonctions uniformes iSo
Fonctions entières i5o
Développement d'une fonction niéroniorphe duns le plun ij^
Théorèmes de M. Mittag-Leffler et de Weierstrass i55
CHAPITRE II.
applications analytiques.
I. — Calcul d'intégrales définies 1 59
Lemmes; intégrales rationnelles 169
Intégrales de Fresnel et intégrales analogues 161
' dx et de / dx.
1(54
XIV TABLE DES MATIÈRES.
Pages.
II. — DEVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE FRACTIONS l68
Développement de cotu; produit infini pour sin;< i6S
III. — Intégrales de différentielles algébriques 171
Étudedc f'-^^. r'-^ '73
Étudede r^'—^Lr '7^
Étude de l'intégrale elliptique de première espèce 179
CHAPITRE m.
PONCTIONS ELLIPTIQUES.
I. — GÉNÉRALITKS iS^
Définitions-, théorèmes sur les périodes i84
Théorèmes sur les fonctions elliptiques 189
II. — Les fonctions fondamentales C", pu, ru 19a
Les fonctions X^u tlipu\ propriétés 194
La fonction <f u ; propriétés 198
Formules d'homogénéité 201
Remarques ; systèmes de périodes équivalents ao3
III. — Relations entre pu et p'u ao3
Invariants ; invariant absolu ; fonction modulaire 306
IV. — Expressions diverses d'une fonction elliptique 208
Expression par un quotient de 3' 208
Expression par la fonction Ç et ses dérivées 209
Trois expressions par la fonction p et ses dérivées 210
V. — Formules d'addition a 1 3
VI. — Les fonctions )/pft ^ e^ kt sn a 216
VII. — DÉFINITION DE p M PAR LES INVARIANTS ^3 ET ^3 219
Expression des périodes en fonctions des invariants 219
Autre forme des formules d'homogénéité 223
Élude de p M pour m, g^ et ^3 réels 224
CHAPITRE IV.
APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
I. — Calcul des intégrales elliptiques 226
Première méthode 226
Autre méthode 229
II. — Courbes de genre un; cubiques planes 23i
Courbes de genre un 281
TABLE DES MATIERES. XV
Ptsat.
Cubique plane ; propriétés géométriques aSi
DifTéreotielIes abéliennes appartenant à une cubique; exemples... 335
m. — Pendule simple a38
Loi du mouvement ; discussion a38
rv. — Théorème de Poncelet 241
Lemme 24 1
Théorème de Poncelet; conséquences 244
Application au pendule a46
Arc de lemniscate 248
CHAPITRE V.
CALCULS NUMERIQUES.
Retour sur la fonction a* 25o
La fonction thêta 35i
Calculs définitifs 256
TROISIEME PARTIE.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
CHAPITRE I.
ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.
T. — DÉFINITIONS ET GÉNÉHALITÉS 263
Ordre ; équations du premier ordre 263
Solutions générale et singulière; interprétation géométrique 265
Existence de la solution singulière 2^6
Remarque; application aux formules d'addition du sin et du iog. 269
II. — Équations du premier ordre qu'on sait intégrer a-i
!• Équations à variables séparées 271
2"* Équations homogènes 272
3* Équations réductibles aux homogènes 274
4** Équations linéaires 276
5* Équations de Bernoulli 280
6*> Équations de Riccati aSo
7* Équations de Lagrange a83
8« Équations de Clairant a85
Remarques diverses 286
\VI TABLE DES MATIERBS.
III. — Équations oénêralks du premier ordre; artifices d'intégration.. aSg
Procédé de ia dérivation ; exemple aSg
Procédé du facteur intégrant ; exemple 291
Procédé du changement de variable ; exemples 296
IV. — Applications 296
Problème des trajectoires 296
Exemptes divers; développantes; trajectoires orthogonales de
cercles 297
Lignes de courbure des quadriques à centre et du paraboIoTde... . 3o2
Ligne» asymptotiques; surfaces réglées; exemple particulier 3o5
Trajectoires sur les surfaces ; exemple 3o8
Systèmes conjugués ; exemple 3io
V. — Équation d'Euler 3i2
Intégration algébrique 3i3
Formes diverses de l'intégrale algébrique 3i6
Application : formule d'addilion de pu 317
CHAPITRE II.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'ORDRE QUELCONQUE.
I. — Cas DE RÉDUCTIBILITK 3l9
Premier cas ^19
Deuxième cas 32i
Troisième et quatrième cas • • 322
II. - Applications 323
Courbe élastique 323
Problème relatif aux diamètres 3a5
Problème en coordonnées polaires 326
Courbe de poursuit*^ 328
III. — LlONKS OKODKSIQUES " -^^O
Équation difTércntielle 33 1
Propriétés des géodésiques 336
Exemples : Géodésiques des cylindres 338
Géodésiques des surfaces de révolution 339
Géodésiques de rdlipsoïdc 343
CHAPITRE m.
svsTÈMES d'Équations différentielles.
I. — Généralités ; théorème de Cauchy 349
Forme canonique 349
Tlu^orème de Cauchy 35i
Cas des systèmes linéaires 358
TABLU DES MATIÈRES. XVI f
Pa|«s.
Applicatioo à réquaiion difTérentielle générale 36a
Intégrales premières 364
Étude des solutions d'un système 366
II. — Application du tbéorbme de Gauchy 368
CHAPITRE IV.
EQUATIONS LINÉAIRES.
I. — GÉNÉRALITÉS 3^^
Défîniiions 873
Équations linéaires sans second membre ; propriétés fondamentales. 3;^
Équations linéaires avec second membre 38i
II. — Équations linéaires particulières 385
Équations à coefficients constants, sans second membre 385
Équations à coefficients constants, avec second membre 889
Équations d'Euler 3^3
III. — Systèmes linéaires 396
Systèmes sans seconds membres 396
Systèmes à seconds membres 4oo
Systèmes à coefficients constants sans seconds membres ^|oa
CHAPITRE V.
ÉTUDE DBS INTEGRALES d'uNB EQUATION LINÉAIRE.
I. - GÉNÉRALITÉS 4^*7
Forme des intégrales aux environs d^un point critique /|07
Énoncé d*un problème fondamental ; solution ; résumé 4^3
II. — Applications ^20
Reconnaître si l'intégrale générale est méromorphe dans le plan.. 4^0
Reconnaître si elle est holomorphe' 43i
Reconnaître si elle est rationnelle 4^3
Exemple 4^4
III. — Équation de Lamé 4^6
La solution générale est méromorphe 4^6
Forme de cette solution 3a8
Intégration; cas de n = i '|3i
CHAPITRE VI.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. I. — GÉNÉRALITÉS
XVllI TABLE DES MATIERES.
II. — Équations linéaires du premier ordre aux dérivées partielles... 4^8
Équations linéaires et homogènes 4^8
Équations linéaires à second membre 44 >
Exemples 444
Interprétation géométrique de la méthode d'intégration 44^
III. — Équations au différentielles totales 45o
IV. — Équations du type /(a?, y, z, />, ^) = o 4^
Intégration quand on connaît une solution complète 4^
Interprétation géométrique 4^
Détermination d'une solution complète 4^3
Cas de réquation /(a?, j', /?, ^) — o 4^^
Cas particuliers divers 4^^
V. — Équations d'ordre supérieur au premier ki^
Remarques générales ; exemples 4?^
EXERCICES
SUR LA THEORIE DBS FONCTIONS ANALYTIQUES ET ELLIPTIQUES.
Exercices sur les fonctions analytiques (I à VI) 470-481
Exercices sur l'expression d'une fonction elliptique en jiu et jd'u (VII
et VIII ) 481-482
Exercices sur Tintégration et la formule d'Hermite (IX à XII) 483-485
Exercices sur l'expression de p - (XIII et XIV) 486-487
Exercices sur la multiplication complexe ( XV et XVI ) 487-488
Exercice sur l'invariant géométrique d'une cubique plane (XVII) 49'
Exercice sur la théorie des équations différentielles ( XVIII ) 49^
FIN DE LA TABLE DES MATIERES
ERRATA.
37, ligae 5 en remonlant.
5i, dernière ligne.
75, ligne 8,
354} ligne II en remontant.
262, 9* ligne du n* 257.
280, ligne 7 en remontant.
Soi, 5* Jigne du n* 294.
309, 7« ligne du n* 302.
35 1, ligne 18.
|
Tome I. |
|||
|
Au lieu de |
du |
lire |
ou |
|
Au lieu de |
MOM, |
lire |
MOM'. |
|
Après |
courbe, |
ajouter |
plane. |
|
Après |
courbes planes, |
ajouter |
algébriques. |
|
Au lieu de |
est |
lire |
et. |
|
Au lieu de |
coordonnées, |
lire |
ordonnées. |
|
Après |
Tinfini, |
ajouter |
par valeurs cioissaites. |
|
Après |
positives, |
ajouter |
{a<b). |
|
Au lieu de |
n-hi, |
lire |
n. |
Tome II.
lire
4«, ligne 10. Au lieu de ^(j^) '
58, ligne is en remontant. Au lieu de p«-3, lire
tjcff ligne II en remontant. Au lieu de ( n« 37), lire
331, ligne 3 en remontant. Après p{f^^g7tgi)t ajouter
334, ligne 10. Au lieu de se réduisent^ lire !»c
^44» ligne 7 de la note. Supprimer le facteur 4 sous le premier radical.
(n» 76).
ou.
se déduisent.
COURS
D'ANALYSE.
PREMIÈRE PARTIE.
COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
CHAPITRE I.
INTÉGRALES MULTIPLES.
I. - NOTION DE L'INTÉGRALE MULTIPLE.
1. Retour sur la notion d'aire. — La définition analytique de Taire, donnée aux n"* 274-275 du Tome I, a besoin d'être précisée et dégagée de certaines liaisons géométriques.
Soit, dans le plan, un champ fini, G, limité par un contour y, et rapporté à deux axes quelconques, Oj: et Oy, faisant entre eux un angle 6. Sur chaque axe marquons les points de coordonnées entières, . . ., — 3, — 2, — i, o, 4- ij -+-2, 4-3, . . .; partageons chacun des segments obtenus en deux parties égales, puis chacune de celles-ci en deux autres égales, et ainsi de suite. A un instant quelconque de cette division, menons, par chacun des points marqués sur un axe, des parallèles à l'autre axe : cette réglure partage le plan en losanges égaux.
Considérons, à un instant quelconque, ceux des losanges qui H. — II. I
a PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU C4LCUL INTÉGRAL.
sont situes tout entiers à l'intérieur du champ C : leur aire totale ne peut évidemment que s'accroître quand on passe d'une divi- sion à la suivante, puisque chacun des losanges primitifs se trouve alors partagé en huit autres, également intérieurs à C, et que de nouveaux losanges peuvent s'y ajouter. D'ailleurs, Taire totale considérée reste évidemment inférieure à un nombre fixe, par exemple à l'aire d'un losange de côtés parallèles aux axes, com- prenant le champ i* elle tend donc vers une limite finie A, que l'on nommera aire du champ C, par rapport aux axes 0:r et Oy. De même, si l'on considère Tensemble des losanges qui, à un instant quelconque, sont tout entiers à l'intérieur du champ C, ou dont une partie seulement est dans C, leur aire totale ne peut que décroître quand on passe d'une division à la suivante; comme elle reste supérieure à zéro, elle tend vers une limite finie, A' : je dis que A' est identique à A, c'est-à-dire que l'aire totale des losanges qui mordent sur la surface du champ a pour limite zéro.
2. Pour l'établir, supposons que le contour, y, du champ ne soit coupé qu'en deux points, au plus, par toute parallèle à Oy ; à chaque valeur de l'abscisse x comprise entre deux limites, a et é \_fig' ï» (^ < 6)]? répondent, sur le contour y? deux points
M et N, d'ordonnées y\{x) et y-ii^)* Supposons que y^ et y2 soient des fonctions continues de x dans l'intervalle aby extrémités comprises : la continuité étant uniforme (Tome I, n° H), soient r,|(e) et •/^^(e) les modules de continuité uniforme de ces deux fonctions, pour le nombre e; si Yj est le plus petit des deux, l'iné-
0)' .od(5'-$)<. entraîne I """'[•"'î^?-''*!!!!; ^' Ç et Ç' étant des valeurs de l'intervalle ab (Tome I, n** 258).
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES. 3
Considérons maintenant, à un instant quelconque, une division, PP', de Taxe des x^ ayant pour longueur p; soient x et x' les abscisses de P et P'; MP et M'P' sont y\{x) e\. y^{x'). Si p est inférieur à r,, la différence des ordonnées de deux points quel- conques de Parc MM' sera, en vertu de (i), inférieure à e : il en résulte aisément que, à l'instant considéré, le nombre des losanges qui appartiennent à la tranche comprise entre les droites PMN, P'M'N', et qui contiennent des points de l'arc MM', est inférieur
à - -f 2. La même conclusion s'applique à Tare NN' : la somme
des aires des losanges qui contiennent des points de l'un ou de Tautre arc est donc plus petite que si(e + 2p)psin9.
Désignons, à l'instant considéré, par v le nombre des divi- sions PP', de l'axe des x, qui comprennent des points du segment ab : chacune des divisions PP' ayant pour longueur p, il résulte de ce qui précède que l'aire totale des losanges conte- nant des points du contour Y, c'est-à-dire mordant sur le champ G, est inférieure à
(2) v.2(e-4- 2p)psin6;
comme d'ailleurs pv est évidemment plus petit que b — a + ap, l'expression (a) est inférieure à 2sin8(e -f- 2p) (ft — <i-H2p), quantité qui peut décroître, avec e et p, au-dessous de toute limite.
c. Q. F. D.
La démonstration est li même pour un contour rencontré par une parallèle à Oy en un nombre de points supérieur à deux, mais Gni.
3. Expression analytique de Taire. — Reprenons la tranche des losanges compris, à un même instant, entre les droites PMN elP'M'N' : ceux d'entre eux qui sont complètement intérieurs au champ C forment une file dont la longueur, comptée parallèlement àO/, eslauplus égale à MN; ceux qui sont intérieurs à C el ceux qui mordent sur C forment une file, de longueur 'au moins égale à MN : sous une autre forme, la quantité MlN p sinO est comprise entre les aires de ces deux files. En répétant le même raisonnement pour toutes les tranches, on voit qu3 la somme
(3) SMNpsinO, ou S[rï(a?) — >'i(a7)](a:'— a7)sin8,
4 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
étendue à toutes les divisions PP', est comprise entre Taire totale des losanges intérieurs à G et Taire totale des losanges intérieurs à C ou mordant sur G. Ges deux dernières aires ayant une même limite, A, qui est Taire du champ, il en sera de même de la somme (3). D'ailleurs celle-ci a évidemment pour limite Tinté-
grale définie sinO / [yii^) — y^ {x)]dx, de sorte que Ton a
(4) A = sinO f [M^)-yi(^)]^-
Si Ton avait procédé par tranches parallèles à O^, on aurait trouvé de même :
(ibis) A = sinO / [Ti(jr)- xi(y)]dy,
les notations s'expliquant d'elles-mêmes.
Plus généralement, si le contour de Taire est rencontré par une parallèle à Taxe des y, d'abscisse x, en un nombre fini de points, et si y^{x) est la longueur totale que le champ intercepte sur cette parallèle, on aura, pour A,
(5) A =sine / 'k(x)da;,
et une expression semblable par une intégrale en y,
4. Influence du choix des axes. — L'aire d'un champ, telle que nous l'avons définie, dépend, en apparence, du choix des axes de coordonnées; nous allons montrer qu'aile en est indépendante.
Tout d'abord, dans les expressions (4), (4 bis) et (5) de A, n'intervient évidemment que la direction des axes; comme d'ailleurs un changement d'axes autour de Torigine peut s'opérer en modifiant les deux axes l'un après l'autre, il suffira d'établir que l'expression (5) garde la même valeur quand on conserve Taxe Oy, en changeant Taxe des x, Torigine demeurant fixe.
Soient donc Ox et O^i l'ancien et le nouvel axe des x] 6 et 8| les angles ^O^ et ^Oa^i ; on a, pour Taire du champ dans les deux systèmes,
A = sin6 / \{x)dx, Ai = sin8i / \i{x^) dxi.
CHAPITRE !• ~ INTÉGRALES MULTIPLES. 5
D^ailleurs {^fig* 2), les abscisses ancienne et nouvelle d'un même point, Q, du plan, x ^^,Xx^ sont liées par
(6) â7sinO = :ri sinO|;
enfin, si x et x^ vérifient celte relation, les deux fonctions
X(^) et)n(X|) sont égales, puisque toutes deux représentent la longueur MN. Cela posé, faisons, dans l'intégrale A|, le change- ment de variable défini par (6); il vient, en vertu de ce qui pré- cède,
Âi=sinOi / X(ar)flrar-:— r- = sinô / X(a7)<ij?=A,
car
asinO = ai sînOi) 6 sin0 = 61 sinOj,
ainsi que le montre immédiatement la fig, 2.
La définition de Taire ajant maintenant une base analytique solide, nous pouvons passer à celle de l'intégrale double.
5. Intégrale double. — Pour les anciens analystes, la notion d^iniégrale double se rattachait à celle de volume, de même que
Fig. 3.
f:^
la notion d'intégrale simple se rattachait à la notion d'aire. Soit en effet, dans le plan des xy (axes rectangulaires), une aire limitée, C ijig. 3) : pour évaluer le volume compris entre la
6 PRBHIÉRB PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
surface z=/(Xj y)^ le plan des œy el le cylindre droit ajanl pour base G, on peul décomposer Taire G en élémenls très petits, Ati, Ada, ..., At;,, ..., et, si Ton désigne par j:„,^„un point quel- conque de l'élément Ao-,,, on comprend intuitivement que le volume proposé est la limite de la somme
lorsque les dimensions des éléments Aff^ tendent vers zéro dans tous les sens. Gette limite se représente par le sjmbole
/-(
f{x,y)dtj, ou SQf{x,y)d<s\
sa signification géométrique montre qu'elle est indépendante du mode de division de Taire G en éléments, ainsi que du choix du point Xn, y,i dans chaque élément. En particulier, si Ton divise G en éléments infiniment petits par des parallèles à O^, distantes de dy^ et par des parallèles à O^, distantes de dx^ Télément d'aire rfo* sera dx dy, et Tintégrale double s'écrira
//
f(ar,y)dxdjr, c
6. Théorème. — Il est clair que cette définition est tout à fait insuffisante, au point de vue analytique, comme Tétait celle de l'intégrale simple par une aire. Mais on peut, en admettant la continuité de la fonction /(a:, j^) dans Taire G et sur son contour, et en supposant cette aire limitée, établir la proposition sui- vante :
Si l'on décompose l'aire G, supposée d'un seul tenant, en éléments de sur/ace At, , Aa-j, . . ., Aa-,,, . . ., e/ si x„^ yn, est un point quelconque pris à l'intérieur de l'élément Ao*;,, ou sur son contour, la somme
tend, lorsque les dimensions des éléments Aa^ ont pour limite zéro dans tous les sens, vers une limite Ji nie et déterminée, indépendante du mode de décomposition de l'aire G et du choix des points x„,yn.
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 7
7. Pour le démontrer, suivons exactement la même marche que dans la théorie de Tinlégrale définie (Tome I, n*» 2o9).
On commence par considérer un mode de décomposition parti- culier de l'aire G et un choix particulier des points x„, yn- A cet effet on marque, sur les axes Ox et O k, supposés rectangulaires, les points aux distances .. ., — 3, — 2, — 1,0, -f-i, +2, -f-3, ... de Torigine, et par chacun de ces points on mène les perpendi- culaires à l'axe correspondant; on divise ensuite chaque inter- valle, sur Ox et sur Oy^ en deux autres égaux; par les nou- veaux points de division on mène encore des perpendiculaires; et ainsi de suite. Â chaque période de cette division, on a décomposé le plan en carrés égaux : soit alors, à un instant quel- conque, LfJn l'aire d'un de ces carrés compris entièrement dans l'aire C, ou la portion d'aire intérieure à C d'un carré non com- pris entièrement dans C ; si Wn est le minimum de f{^ty) pour les points X, y de l'aire Ao-,! et de son contour, on considère la somme
S = 2 nin A^rt,
et l'on démontre qu'elle a une limite finie et déterminée en observant : i'' qu'elle est inférieure à MC, M étant le maximum de f{j^', y) dans l'aire G, et G étant la valeur de cette aire; 2? qu'elle croît quand l'on passe d'une division à la suivante.
Soit Sc/(x,^)rfo" la limite ainsi obtenue; on établit ensuite, en calquant les raisonnements du n** 260, Tome I, les corollaires suivants.
Corollaire i". — Si l'on partage l'aire G en deux autres G| et G2» par une ligne A, on a
Sc= Sc,-+-Sc,.
En effet, à un instant quelconque de la division de l'aire en carrés, désignons par S, S|, S^ les sommes qui ont pour limites Se, Sc^, Se,; la différence S — S| — Sa provient seulement des carrés ou portions de carrés intérieurs à G, et traversés par la ligne A. Soient 5 la somme des aires de ces carrés, Mo le maximum du module de /{x^y) dans G et sur son contour; la différence S — S, — S2 est évidemment, en valeur absolue, inférieure à 2M05 : or il est clair que s tend vers zéro avec les côtés des carrés, ce qui établit la proposition.
_k J
8 PREUIÂRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
Plus généralement, si Ton partage Taire G en /? autres C|, C2) •..7 Cp, on a de même
(0 Sc=Sc,-+-Sc, + ...-f-Sc^.
Corollaire 2°. — Les rrin étant compris entre le minimum, m, et le maximum, M, à^f^x^y) dans G, on a évidemment
et, à la limite, en désignant par G l'aire du champ G,
inG<Sc/(ar, ^)rf(i<MG, d*où
jjL étant compris entre m et M. Gomme /(x, y) prend la valeur jjl en un point Ç, 7| de G ou de son contour (Tome I, n® 8), on a
{1) Sc/(:r,jK)rf(T=C/(f,7i).
G'est le théorème de la moyenne.
Montrons enfin que la somme Jl/{xn^yn) ^^n^ où la loi de dé- composition de l'aire G et le choix du point x,i^yn dans l'élé- ment Ao-;j sont arbitraires, a pour limite Sc/{x^y)d(T, On a, par(i) et (2),
Sc/(iP, y)d(j = SAa.-H Sa(t, H-. . .-H Sa(t„-h. . .
i/îj '^n étant un point de l'élément /i<7„ ou de son contour. On en conclut :
(3) 2/(a-«, yn) Aar„ - Sc/(^, J') rfa = S A(i«[/(^„, r«)-/(5/., ^«)]-
Mais /(^, jk) est uniformément continue (Tome I, n° H) dans l'aire G : cette fonction admet donc, pour tout nombre e, un mo- dule de continuité uniforme in(e), c'est-à-dire que, si les diffé- rences x' — X et y — y sont, en valeur absolue, inférieures, àrj(e), la différence /(j;',jk') — /{^^ y) est inférieure à e. Or les aires Ao-/, tendant vers zéro, il arrivera un moment à partir duquel chacune d'elles sera comprise dans un carré dont les côtés, parallèles aux axes, ont pour longueur t, (e) : alors les différences Xn — ^n et yn — "^in resteront, en valeur absolue, inférieures à ^^^(e), puisque
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 9
les deux points Çy,, y\„ et x„^ y,i appartiennent à Taire Ao-,, ou à son contour; la différence /(xn^yn) — /(i/ij "'l/i)? restera donc, en valeur absolue, inférieure à e, et l'on aura dès lors, d*après (3),
ce qui démontre le théorème.
La limite dontTexistence est ainsi établie se nomme V intégrale double àe la fonction f{Xjy)^ prise dans le champ d'intégra- tion C, et se représente par les notations indiquées au n^ 5.
8. Volumes. — Soit, dans l'espace, un solide fini, S, limité par une surface fermée, S. Désignons par Ox^ Oy, Oz trois axes rectangulaires, sur chacun desquels nous marquerons les points de coordonnées entières, ..., — 3, — 2, — i, o, H-i, +2, -4-3, — Partageons chacun des segments obtenus en deux parties égales, puis chacune de celles-ci en deux autres égales, et ainsi de suite, A un instant quelconc|ue de celte division^ menons, par chacun des points marqués, des plans normaux à Taxe correspondant : nous partageons ainsi l'espace en cubes égaux.
On reconnaît, par des raisonnements semblables à ceux des n*»» 1-2,
1° Que le volume total des cubes intérieurs au solide S tend vers une limite V ;
2** Que le volume total des cubes intérieurs à S et des cubes qui mordent sur S tend vers une limite V;
3** Que ces deux limites coïncident.
Leur valeur commune, V, sera, par définition, le volume du solide S par rapport aux axes Ox^ Oy, O^.
Il est aisé d'en donner une expression analytique.
Considérons la tranche des cubes qui, à un instant quelconque de la division, est comprise entre deux plans successifs, normaux à O:;, de cotes 5 et -z' (5' > 5) : le solide S intercepte, sur le plan de cote z^ une portion d'aire ^{z). Or ceux des cubes de la tranche considérée qui sont complètement intérieurs à S ont évidemment un volume total inférieur à (3' — z)^{^z)\ ceux qui sont intérieurs à S et ceux qui mordent sur S ont un volume total supérieur à la même quantité. En répétant le même raisonnement
10 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DV CALCUL INTÉGRAL.
pour toutes les tranches on voit que la somme
(4) ^iz'-z)<j{z),
étendue à toutes les divisions z' — z de l'axe des z^ est comprise entre le volume total des cubes intérieurs à S et le volume lolal des cubes intérieurs ou mordant sur S : elle a àonc pour limite le volume V du solide. D'ailleurs la somme (4), d'après sa forme même, tend, lorsque les divisions s' — z décroissent indéûniineat,
vers rintégrale définie / (T{z)dz, a ei b désignant le minimum
et le maximum de la cote z d'un point de la surface limite du solide. On a donc
(5) V= r <T(z)dz,
et, si l'on procède par tranches normales à Ox ou à Oy, on trouve de même
(6)
les notations n'ajant pas besoin d'être expliquées.
L'expression (5) de V ne dépend évidemment que de la dircc tion de l'axe des z\ une remarque analogue s'appliqi:e zix expressions (6). Il en résulte que le volume d'un solide, tel que nous l'avons défini, est indépendant du choix des axes : c:ir on peut toujours passer en trois temps d'un système d'axes rectangu- laires à un autre de même origine, un axe étant laissé fixe à chaque temps.
9. Autres expressions du volume. — Soit C la région du plan des xy à l'intérieur de laquelle se projettent les points du solide S ; à un instant quelconque, le plan des xy se trouve, d'après l'hjpo- thèse, divisé en carrés égaux : appelons A<7 l'aire d'un carré inté- rieur à C, ou l'aire de la partie intérieure à C d'un carré mordant sur C. L'un et l'autre des carrés considérés sert de base à une file de cubes, parallèle kOz. Désignons parx, j>^ les coordonnées d'un point de l'aire Aa; par \(x^y) la longueur totale interceptée par le solide sur la parallèle à l'axe des z issue de ce point : ceux des
CHAPITRE 1. — 1NTEGR4LB8 MULTIPLES. II
cubes de la file envisagée qui sont intérieurs au solide ont un volume total évidemment inférieur à )»(^,^)At; en répétant le même raisonnement pour toutes les files qui rencontrent le solide, sommant et passant à la limite, on obtient ainsi l'inégalité
De même, en considérant les cubes de la file qui sont intérieurs au solide ou qui mordent sur lui, on trouvera
on a donc rigoureusement, puisque V'= V (n® 8),
c ce qui exprime le volume par une intégrale double, car X(x,^) peut se calculer sans quadrature, dès qu'on connaît Téquation de la surface qui limite le solide. En procédant par files parallèles à Ox ou Oy^ on obtiendra deux autres expressions analogues pour V.
10. Intégrale triple. — L'intégrale triple se définit de la ma- nière suivante. Soit /(^, y^ z) une fonction de trois variables continue à l'intérieur d'un corps ou volume limité, V; si l'on dé- compose V en éléments de Nohime, AV,, ..., AV„, ... et si ^nî^/i? -2/1 est un point quelconque de l'élément AV„, la somme
tend, lorsque les dimensions des éléments AV;, ont pour limite zéro dans tous les sens, vers une limite finie et déterminée, indé- pendante du mode de décomposition de V et du cboix des points
Cette limite se représente par le symbole
SSL
f(,x,y,z)dW, ou ^sf{x,y,z)dW. £d particulier si Ton divise le volume Y en éléments infiniment
la PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
petits par des plans normaux à O^ distants de d/x, à Oy distants de dy, k Oz distants de ds (axes rectangulaires), rélément de volume AV sera dx dy dz et l'intégrale triple s'écrira
jJj/(^^ yj^)dx dy dz.
On démontre, comme dans le cas de l'intégrale double, que l'intégrale triple existe et a une valeur finie et déterminée, indé- pendante du mode de décomposition du volume V, ainsi que du choix des points Xn^ynt ^n* H suffit que /{^ly-i ^) soit continue à l'intérieur et sur le contour du volume V, supposé lui-même limité dans tous les sens : ce volume est dit champ d^ intégra- tion de l'intégrale triple.
H. Remarque. — Pour définir une intégrale double ou triple il faut donc se donner, non seulement la fonction à intégrer, mais
un champ d* intégration, aire pour / /, volume pour f 1 f -
Analytiquement le champ est défini par une ou plusieurs iné- galités; par exemple, si le champ est l'intérieur du cercle x^-hy'^= R'^, on peut dire que l'intégrale double est étendue à tous les points x,y qui vérifient l'inégalité
L'existence de l'intégrale double ou triple n'a été établie qu'à la condition que le champ soit fini (c'est-à-dire n'ait aucun point à l'infini) et que la fonction à intégrer soit continue à l'intérieur et sur le contour de ce champ. On essaiera plus tard de s'alTranchir de ces restrictions.
II. - CALCUL DES INTÉGRALES MULTIPLES.
12. Lemme I. — Décomposons le champ C, d'une intégrale double, en rectangles, ayant leurs côtés parallèles aux axes de coordonnées, et cela d'une manière quelconque; faisons tendre
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. l3
eosuite vers zéro, suivant une loi arbitraire, les deux dimensions de chaque rectangle. A un instant quelconque, l'aire C est ainsi décomposée en
Fig. 4.
éléments Ao-/,, dont certains, ombrés sur la figure, proviennent de rectangles mordant sur C. Je dis qu'on peut négliger dans la somme
dont la limite est l'intégrale double / / /(^, J^)rfo-, les termes (*)
qui correspondent à ces éléments ombrés. La limite de la nouvelle somme sera toujours
f{x, y) d9.
Il,
La valeur absolue de la partie négligée est en effet inférieure à MoO-, Mo désignant le maximum du module de/{x,y) dans Taire C, et <j la somme des aires ombrées : comme o- tend évidem- ment vers zéro (^) en même temps que les dimensions de tous les rectangles, le lemme est établi.
On verrait de même que l'on peut remplacer dans la somme (i), sans changer sa limite, chacune des portions ombrées (') par l'aire totale du rectangle auquel elle appartient.
Xr ^{y)dy, où
Ton suppose y'<Zy\ et où o(y) est une fonction continue de^.
(') Ou quelques-ans seulement des termes.
(^) Car, lorsque les dimensions des rectangles deviennent suffisamment petites, l'aire ombrée totale finit par rester comprise entre la courbe C et une courbe parallèle et intérieure à C, aussi voisine qu^on veut de C.
C) Ou quelques-unes seulement.
l4 PREMIÈRE PARTIE. -— COMPLEMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
Désignons par rji,T,2, ...,''1A> •'•?^/» d^s quantités croissantes, arbitrairennent choisies entre y' et y" ] posons, pour la sjraélrie des notations, y'=riQ,^":=7)jt»+i, et soient [jl^^ et Ma le minimum et le maximum de <f{y) enire tja et 7^*4.1. Je dis que I est compris entre les deux sommes
En effet on peut écrire
y\9 ^-ni *^^k ^"Tip
et Ton a (Tome I, n<» 263, 2«)
f <^(y)dyi:{7ik+i'-y\k)y^ky fïk
ce qui, par addition des inégalités analogues membre à membre, démontre la proposition.
13. Calcul de l'intégrale double. — Cela posé, pour calculer rinlégrale double
J=ffAx,y)d<i,
nous admettrons, ce que l'on peut toujours réaliser par le partage de l'aire G en plusieurs autres, que le contour du champ n'est coupé qu'en deux points, au plus, par toute parallèle à Oy (*).
Divisons le champ en tranches verticales par des parallèles à Oyj menées par les points Xq^ Xx, . . ., Xm^ . . . , X© de Taxe des X (Jig' 5); x^^ et Xq sont les abscisses extrêmes des verti- cales qui rencontrent le contour du champ (^o étant inférieur à Xq), et ^< , . . . , Xnn . . • sont marqués arbitrairement en allant de Xq vers Xo.
Considérons maintenant la tranche comprise entre les verti- cales Xm et Xm-i-i ; divisons-la en rectangles par des horizontales, dont les deux extrêmes passent par les points, d'ordonnées y'„^
(1) Pour simplifier le langage, on appellera verticales ,les parallèles à Oy; horizontales les parallèles à Oj:.
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. l5
^^ Tm^ ^^ '* verticale Xm rencontre le contour du champ (v)»<J'^»); soient y,|, Yjj, . . . , irijt, ..., yj^ les points de division sur cette verticale.
Désignons par {jl^ir et M^m le minimum et le maximum de /(j:, jk) sur le segment 'r\k'rlA^^ ; en vertu de la définition de l'in- tégrale J el du lemmel, Jest la limite commune des deux sommes doubles
et
m k
Dans chacune de ces sommes, considérons les termes qui cor- respondent aux rectangles de la tranche Xm^m^i ; le facteur
Fig. 5.
0 •af© JCW*. Xm-t-t
Xq oc
Xm^i — Xm leur est commun et peut sortir du signe som matoire S;t, de sorte que les deux sommes s'écrivent
Or [jL^^ et Mato sont le minimum et le maximum de/(Xjy) sur le segment t^aTia+i , c'est-à-dire de la fonction /(^T;,,, y), lorsque x„i étant regardé comme constant, y varie de r^* à r^/^^i. Donc, en vertu du lemme II, on a
étant bien entendu que dans l'intégrale / /(^wi, y) dy, Xm est
•/y/
Jm
regardé comme une constante el que* la variable d'intégration
l6 PREMIÉRB PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
esl y. Celle inlégrale est dès lors une fonclion de Xm^i donl dépendent aussi ses limites j^J^ ^'^ ym\ appelons-la Y(^x„^^ en posant (*)
(3) \f{x^,y)dy = ?(,x,ny
Malllplions maintenant par Xm+i — Xm (quantité positive) les trois membres des inégalités (2), et faisons la somme pour tous les intervalles Xm^m+\ ' nous voyons que la somme
2 (ar;„^-l — ar^ ) F (ar;„ ) est comprise entre les deux sommes
2m(^m-4-l — a:,rt) 2A-(TlJb4-i— 'n*)MA•m• MaiSf comme on Ta dit plus haut, ces deux dernières ont pour limite Tintégrale double J, lorsque les intervalles Xm^nu^i et TiAT'iA+i tendent vers zéro; la première somme a évidemment
pour limite l'intégrale simple / ¥{x)dxy et Ton a dès lors, en remplaçant F(jr) par sa valeur (3),
(4) J=y ?(x)dx = J"dx\j f{x,y)dyV
y tiy" étant les ordonnées des points où la verticale d'abscisse x rencontre le contour du champ.
On voit ainsi que Tintégrale double se calcule à l'aide de deux quadratures simples successives; dans l'intégrale simple en y, que Ton calcule d'abord, x est traité comme une constante, comme on l'a dit plus haut, de sorte que cette intégrale est une fonc- tion de x, qui figure aussi dans ses limites y et y, La fonclion de X obtenue ainsi doit ensuite être intégrée par rapport à x entre Xo et Xo, ces deux limites étant des constantes absolues.
14. Remarque I. — Le résultat aurait été le même, puisque
(*) Il est facile d établir que F(x) est uoe fonction continue de jt, entre x» et X«, si y' et ,> ' sont elles-mêmes des fonctions continues de x dans le même interfalle, e&trémitcs comprises.
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES. I7
rÎDtégrale double a une valeur unique, si Ton avait procédé par tranches parallèles à Ox. Si donc y^ et Yo sont les ordonnées des parallèles extrêmes à O^ qui rencontrent le contour du champ, et af ^ af les abscisses (fonctions de y) où le contour est coupé par la parallèle à Oj: d'ordonnée ^, on aura(*)
15. nemarque II. — Dans le cas où le champ d'intégration est un rectangle {fig- 6), compris entre les parallèles aux axes
X = a, X = 6; Y = c, Y = </ (,a<b, c <rf), les limites jk' et y de l'intégrale / f{^ty)^y sont indépen-
Jyl
dantes de x et égales à c et </; ^^ et Xq sont a et b. De même,
Fig. 6.
3/ d. ...
au second membre de (5), les limites ^o et Yq, J?'et ocf^ sont aussi ceid, a et è, de sorte que la formule (3) devient
J dxj f{x,y)dy= j djrj /{x,y)dx;
ce qu'on exprime en disant que :
Entre des limites constantes, on peut renverser C ordre des intégrations.
Mais on ne peut le faire avec sécurité que si la fonction f{x^ y) est continue dans le rectangle, supposé lui-même fini, car Texis- tence de l'intégtale double n'est établie que dans ces conditions.
(*) En supposant que les parallèles à Oâ; coupent 1c conlour du cbamp en dei:\ points au plus.
H. - II. a
l8 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
Règle. — En résumé, voici la règle à retenir pour le calcul de V intégrale double 1 f /(x^y)dxdj'.
On écrit
fd^[fAT,y)dy]^l
dans l'intégrale //(^, y)dy^ que Ton calcule d'abord, x est
regardé comme constant, et les limites sont les valeurs de y qui correspondent aux deux points du contour du champ dont l'abscisse est x, la limite inférieure étant la plus petite de ces
deux valeurs; dans l'intégrale l dx\ j f{x^ y) dy que Ton cal- cule ensuite, les limites sont la plus petite et la plus grande valeur que prend x sur le contour du champ.
16. Calcul de Tintégrale triple. — Pour calculer
J j j f{x,y, z)d\ ou jjjf{x,y,z)dxdydz,
on peut raisonner exactement comme on vient de le faire dans le cas de l'intégrale double; toutefois, pour abréger, nous présente- rons la démonstration sous une forme moins rigoureuse et plus sommaire : il n'y aurait aucune difficulté à rétablir la rigueur.
Admettons encore, ce que l'on peut toujours réaliser par le partage du champ en plusieurs autres, que la surface qui limite le volume donné V n'est coupée qu'en deux points, au plus, par toute parallèle à l'axe des z.
Divisons le champ V en tranches verlicales, par des cylindres juxtaposés, n'empiétant pas les uns sur les autres, et de généra- trices parallèles à O^ {fig- 7)-
Soient d^ l'aire de la section (droite) d'un de ces cylindres par le plan des xy\ x^ y les coordonnées d'un point pris à l'intérieur ou sur le contour de cette aire; z' et z" les cotes des deux points où la verticale du point x^ y coupe le contour du champ.
Décomposons maintenant la tranche verticale considérée en éléments de volume infiniment petits par des plans normaux à O:», distants de dz. Si z est la cote d'un point d'un de ces éléments,
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES.
Î9
dont le volume est dadzj le terme de Tintégrale triple qui cor- respond à l'élément envisagé est /{^^y, z)d<Tdz; Ja somme des termes analogues qui correspondent aux éléments du volume V situés à rintérieur du cylindre considéré est évidemment, à la
limite,
(6)
d7
z)dz,
x et/ étant regardés comme constants dans Tintégrale en z. 11 faut faire maintenant, pour avoir la valeur de l'intégrale triple, la somme des expressions (6) qui correspondent à toutes les tranches
V'y%' 7-
KSl^-^'^
verticales comprenant des points du volume V : celte nouvelle somme s'étend par suite à toutes les aires d<T et à tous les points x^y situés à l'intérieur du contour apparent, C, du volume V sur le plan des xy. Le résultat de la sommation est donc, à la limite, ^intégrale double
//'''U'-^^^'^'^^H-
prise dan$ le champ C; ce champ, répétons-le, est rintérieur du contou r apparent du volume V sur le plan des xy, ou encore, la région du plan des xy à l'intérieur de laquelle se projettent les points de ce volume. Sous le bénéfice de cette définition, on a donc
////(^, yyz)dx dy dz =JJ dx dy \j f{x, y, z)dz\,
et Ton ne devra pas oublier : i® Que ^ et ^" sont fonctions de x et y;
20 PREMIÈRE PARTIE. — COIIPLÉIIENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
2° Que X ety sont regardés comme constants dans Pintégration par rapport à z.
On calculera ensuite Tintégrale double par la règle donnée plus haut.
17. Remarque. — Si le volume V est l'intérieur du parallélé- pipède rectangle P, dont les arêtes sont parallèles aux axes et dont les faces ont pour équations
X = ai, X = as I Y = bi, Y = é>j ; Z = Ci, Z = Cj, on a évidemment, en appliquant la règle ci-dessus,
/•/•/» /•"• /•f'È /•Ct
les limites sont donc toutes des constantes absolues. Les intégra- tions commencent, comme toujours, par la droite. Par exemple
III ^y^ ^^ dy dz = l dx j dy j xyz dz,
et, puisque x ely sont regardés comme constants dans l'intégrale en z, ainsi que x dans l'intégrale en jk? on peut écrire
/•«l /•*! /%<'l
/ X dx j y dy j z dz, •A», «Al •>'c,
c'est-à-dire
cX — c} b\ — b\ a\ — a\
2 2 2
De même
Jjj ^{^)^{y)yS^)dxdydz
f o{x)dx I ^{y)dy / jX^)dz,
le second membre étant ainsi le produit de trois intégrales simples.
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES. ai
III. - APPLICATIONS.
1° Volumes.
18. Expressions diverses. — D'après le n^ 9, le volume d'un solide, S, qui se projette à l'intérieur de la région finie C du plan des xy^ s'exprime par l'intégrale double
(1)
J j\{x,y)dxdy,
^[Xj y) désignant la longueur interceptée par le solide sur la parallèle kOz d'abscisse x et d'ordonnée^ (axes rectangulaires). En particulier :
I® Le volume compris entre le plan des xy, la surface z =/{Xj y)j et le cylindre droit qui a pour base la courbe fermée, C, du plan des xy, a pour expression
(a) j j f{^,y)dxdy,
en supposant que toute parallèle à Os, ayant son pied à l'intérieur de C, ne rencontre la surface z=.f{x^ y) qu'en un point.
2** Pour un solide se projetant dans la région C du plan des xy^ et coupé en deux points, de cotes z^ (x, y) et ^2(^,y), par la parallèle à Oz issue de tout point (x^ y) de celte région, le volume est
(3)
j J {^^{^^ y) — ^\{^^ y)\dx dy («j>^i).
Enfin, si l'on peut calculer directement l'atVe, o'(^), que le solide S intercepte sur le plan normal à Oz, de cote s, le volume de ce solide (n® 8) s'exprime encore par l'intégrale simple
(4) J <j{z)dz,
aeib désignant le minimum et le maximum de la cote z, sur la surface limite du solide.
32 PREMIÈRE PARTIE. — COUPLE MENTS DU CALCUL INTEGRAL.
Remarque. — Il est clair que le volume du solide S est égale- ment donné par l'intégrale triple
(5) f Ç f dxdydz,
car celle-ci, par définition, est la somme des éléments de vo- lume AY/i, intérieurs au solide. Elle se ramène d'ailleurs immé- diatement à l'expression (i).
Donnons quelques applications de ces formules.
19. Volume du tétraèdre. — En menant la hauteur SO d'un tétraèdre SABC, on décompose le tétraèdre en trois autres, de sommet S, ayant pqur bases respectives les triangles OAB, OAC, OBC. 11 suffit donc de savoir calculer le volume d'un tétraèdre, SOAB par exemple, dont une arête est en même temps hauteur.
Le point O étant l'origine {fig- 8), OS l'axe des 5, OA Taxe
Fig. 8.
des X (axes rectangulaires), et la longueur OA étant prise pour
unité de longueur afin de simplifier les formules, posons OS = c,
et soient
my — 57 = o, \iy —{x — i) = o,
les équations des droites OB et AB dans le plan des xy.
Le volume du tétraèdre SOAB est donné par l'intégrale double (2)
zdx dy^
SI
^ •/OAB
OÙ z est la cote du point d'abscisse x et d'ordonnée y^ dans le plan SAB. Ce plan ajant pour équation
--fXJ.~I = 0
CHAPITRE I. — INTÉGRALB8 MULTIPLES. 23
le volume cherché, V, a pour expression
V= / / c(i — X -{- yLy)dxd/^
^ •-'OAB
le champ étant Tintérieiir du triangle OAB. Pour faire le calcul, écrivons suivant la règle
V = c / dy /(i — ar-i- ^y) dx.
Les limites de l'intégrale en x sont les valeurs de Tabscisse x qui correspondent aux points P et Q où la parallèle à O^r, d'or- donnée j/-, coupe le contour du champ ; ce sont donc my et i -|- ^y ; quant aux limites de l'intégrale en y^ ce sont o et l'ordonnée du
point B, c'est-à-dire • Ainsi
• ' ïïn — Il
m — jjL
1
f dy j {i — x -h iiy)dx,
y élant regardé comme conslant dans l'intégrale en x. Effectuons les calculs; il vient
-H-r
/•m—[L r I nu
V = c / ^^ (n- i^y)^ — ^'
1 1
Jo ^ ^ U 3(f.-//i) Jo 6(m-fx)'
L'aire de la base OAB étant —, r et la hauteur SO étant c,
2(m — jjl) '
on retrouve l'expression classique du volume du tétraèdre.
20. Remarque. — On a commencé par l'intégration en ;r; on aurait pu commencer par celle en y et écrire
V = c I dx j (i — ar-h \iiy)dy.
Les limites pour l'intégrale en y sont les ordonnées des points où la parallèle à Oy^ d'abscisse x^ coupe le contour du champ ; la limite inférieure est o, mais la limite supérieure est Vy de la droite OB, ou Vy de la droite BA, selon que x est plus petit ou
a4 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
plus grand que OH, en désignant par H le pied de la hauteur BH. Il faut donc décomposer Tintégrale en deux
// -// -// •
et écrire successivement, puisque OH est égal à — — -— >
m X
11=1 dx f {\-^X'\-\iy)dy.
/RBA
Les calculs s'achèvent alors sans difficulté.
21 . Volume de l'ellipsoïde. — Soit Pellipsoïde
x^ y» z^
a* 6« c* '
la section de cette surface par le plan normal à Oz^ de cote s, est Tellipse
a« "^ ^>« "" ' cî '
-5 étant regardé comme une constante. Les demi-axes de cette ellipse sont
son aire, a'(3), est donc
On aura dès lors le volume de Tellipsoïde par la formule (4) : V= / <j(z)dz = 'i:ab I (i j Wz = 7ca6f ac — 2__ j = i^a6c.
2° Centres de gravité,
22. Définition. — On définit les coordonnées Ç,r,, ÎT du centre
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES.
de gravîlé d'un corps homogène, V, par les formules
a5
Ç =
j l I xdxdydz j j l y dx dy dz
fffdxdydz j'C Çdxdydz
j j j zdxdy dz
? = ■
SIX'-'''
dz
les intégrales triples étant toutes prises à Tintérieur du corps V. D'ailleurs Tin légrale // / rfjjrf^rf^, qui figure au dénominateur, est le volume de ce corps.
23- Exemple. — Centre de gravité d'un demi-ellipsoïde. — Considérons {Jig' 9) l'ellipsoïde
arî
6»
proposons<nous de déterminer le centre de gravité de la portion de ce volume située en avant du plan des zx.
Par raison de symétrie, le point cherché sera sur l'axe des j^; il suffit donc de calculer sa coordonnée 7|. D'ailleurs le volume du
demi-ellipsoïde étant -itaèc, on aura
-nabcr^ = j j 1 ydxdydz, Tinlégrale ayant pour champ le demi-corps. Écrivons
- 7: abc 7j = I I dx dz I y dy.
26 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
Les limites, pour l'intégrale en y, sont o et l'ordonnée du point où la parallèle Oy, d'abscisse x et de cote 5, coupe l'ellipsoïcie , en avant du plan des zx; l'équation de l'ellipsoïde étant
art yi
^t-^Ji-^^-'*
l'ordonnée en question est
Quant au champ de l'intégrale double en x et 5, c'est évidemment, dans le plan des xz, l'intérieur, G, de l'ellipse principale ABA.'. Ainsi, en elTectuant l'intégration par rapport à j^, on a
Calculons l'intégrale double dans C. Les limites pour z, quand a: est donné, sont — cl/ i — 2_ et -f- ci/ i — ^ ; les limites de x sont ensui te — a et + a ; donc
= ǣ"''rfx[ac(.-5)'-^,.c.(,-|)'J
On calcule l'intégrale en x par le changeme.it de variable
^ = aco5<p, d'où -TzaTi=~ba j sin^^c^cp;
3 d'après le n'' 273 du Tome I, l'intégrale simple est égale à -^iî",
donc :
3 . 3
Tzr, = 26 -^ir; c'est-à-dire tj = - 6. 16 o
CHiPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 27
24. On définit de même le centre de gravité d'une aire plane, C, par les formules
j l X dx dy l l y dxdy
? = — F^Tî • ^ =
j j dxdy I j dxdy '
et Pon a ainsi à calculer trois intégrales doubles; celle qui figure eo dénominateur est Taire du champ C.
3** Moments dUnerlie.
25. Définition. — On nomme moment d'inertie d'un élément de volume par rapport à une droite le produit de la masse de rélément par le carré de sa distance à la droite; le moment d'inertie d'un corps est la somme des moments d'inertie des élé- ments de volume qui le composent. Si donc V est le corps, si |jl est la densité de l'élément dV^ r sa distance à la droite, le moment d'inertie du corps V sera
=///'
r^dV.
Pour un corps homogène, |jl = const.; et tout revient à calculer l'intégrale triple
//x
r^dV,
V
26. Exemple. — Moment d'inertie d'un prisme rectangu- laire par rapport à un de ses axes, — Soit le prisme d'arêtes 2a, 26, ac, dont le centre est l'origine, et dont les arêtes sont parallèles aux axes. Son moment d'inertie par rapport à O^ est, en faisant p- = i ,
I =fff (^' -+->'*) ^^ ^.r dz ; et; puisque le champ est un parallélépipède rectangle de faces
28 PRElIlàRE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
parallèles aux plans de coordonnées, on a (remarque du n® 17) :
p-k-a ^-^b ^-\-c
1= / dx j dy j {x^-^y^)dz = ic l dx l {x^-{-y^)dy
•A-rt J-b
= 2C / dx{x^y'\-^\ =46c / {x^-\--^\dx=-rabc{a^'^b^).
lY. — CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE MULTIPLE.
27. Coordonnées polaires. — Nous traiterons le cas de rinté- grale double en considérant d'abord un exemple particulier. Dans l'intégrale
I = JjA^y y)dxdy,
prise dans un champ limité G, on fait le changement de variables
a7 = pcosa), y = psina),
et l'on demande l'expression transformée de I, en p et w.
L'intégrale proposée s'écrit / / f{x^y)d'7^ d^i étant l'élément d'aire du plan : or, si l'on divise le champ en éléments, par des
Fig. 10.
circonférences ajanl pour 'centre l'origine et par des rayons issus de ce centre {fig- lo), l'aire ombrée, comprise entre les circonfé- rences de rayons p et p-i-rfp, et les rayons d'angles polaires eu
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES. ig
et w -h rfw, a pour expression rigoureuse (différence des aires de deux secteurs) :
A j = - ( p -4- ûfp )* û^tu p* dm = p dp dui -i- - dp* rfco.
Or Fintégrale I étant, par définition, la limite de la somme
2/(pcosa), psiiia>)A(j, on aura
I = lim I £/(p coso), p sinto>)p dp dm h — S/rfp* dta 1.
Dans cette expression, la seconde somme a pour limite zéro quand les dp et rfco tendent vers zéro. En effet, soient M© le maximum du module de /{x, y) dans le champ G, et A l'aire du champ (A) en p, co qui correspond à G, c'est-à-dire l'aire de la région d'un plan où reste le point de coordonnées cartésiennes rec- tangulaires, p, (I) quand le points, y reste dans G : dès que lesûfp sont inférieurs à e, le module de la seconde somme est inférieur à
- MoE £c?pe/a), ou à -MofiA,
ce qui démontre la proposition, car le champ A est fini lorsque le champ G l'est lui-même.
Quant à la première somme, elle tend évidemment vers l'inté- grale double
I I f(p costi), p sina))p dp rfu>,
prise, en coordonnées cartésiennes rectangulaires, dans le champ (A).
Tel est le résultat demandé : d'ailleurs pour calculer l'inté- grale transformée en p, co, il n'est pas nécessaire de passer par l'intermédiaire du champ (A) : grâce à la signification géométrique simple des coordonnées polaires, il est aussi aisé de se servir du champ G. On a en effet, en appliquant la méthode générale de calcul d'une intégrale double,
1 = j dta f f.pdp\ les limites de l'intégrale en p sont les valeurs extrêmes que prend
3o
PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
le rajon vecteur lorsque 'l'angle polaire a la valeur w; ce sont donc(yî^. 1 i), p'=OM' et p''=OM"; les limites de l'intégrale en w
Fig. II.
sont (ùQ et Ûq, minimum et maximum de l'angle polaire pour tout le champ. Ainsi
1= / dit} j /(p coso), p sinto)p rfp.
28. Remarque. — Cet exemple montre qu'on ne doit pas rem- placer rfx et û(^ dans / / /(^,j^)rfx^par leurs valeurs obtenues
en différentiantles équations x = p cosio, yr= p sino>, du change- ment de variables ; cette opération, d'ailleurs, conduirait à un résultat sans signification, puisqu'elle introduirait des ternies en rfp2 et rfw^, et non pas seulement un terme en dpdiù.
29. Cas général. — Si l'on a à faire le changement de variables général,
on pourra raisonner d'une manière analogue, en divisant le plan à l'aide des courbes u = const. et c' = const. : la courbe u= Uq est celle dont on obtient l'équation en faisant u = Uo dans les deux relations précédentes, et éliminant i^ entre ces relations; on définit de même la courbe «^ = v^.
Or il est aisé de trouver la valeur principale, rfo-, de l'aire ombrée {Jig' 12) comprise entre les courbes (u) de paramètres a et w + dUf et les courbes (ç>) de paramètres v el {^ -h d^^ : le plan peut être en effet regardé comme une surface définie paramétrique- ment par
a? = cp(a,i;), y=:^{u,v), ;î = o;
CHAPITRE
INTEGRALES MULTIPLES.
et l'on a Irouvé, pour la valeur principale cherchée ( ' ) (Tome I, n- 418),
dfj = du ûfi'/Aï-hBï+C».
Ici C= ;p ;p — ■?- -r-; G est donc le Jacobien, J{u, v), des
dv du'
Fig. la.
if-^cUf
u^duu
deux fonctions ?(w, ^) et if{u^ (^); d'ailleurs A = B = o. On a donc, pour la valeur exacte de Taire considérée,
tuv désignant une quantité qui s'annule avec du et dv\ et de là résulte pour l'intégrale proposée,
1 expression
I = lim 2/[cp(a, p), ^^(m, v)] modJ du dv -+- lim2/.£„t, du dç.
La première somme a pour limite l'intégrale double
r/ /[?("> «'■)> 'K"» ^)] modJ(M, v) du dv,
prise dans un champ en u, v facile à déterminer; pour établir que la seconde a pour limite zéro, il faudrait montrer que mode^,, reste, pour toutes les valeurs Ae u^ v comprises dans le champ,
(') On pourrait opérer aulrement en observant que l'aire curviligne MNQP a pour valeur principale le double de l'aire du triangle rectiligne MNP. Or les points M, N, P ont respectivement pour coordonnées (aux inGniment petits près
du second ordre ) x, y; x-
ôx ^ dy , dx , ày , ,, .
3- du, y -h -f du; x -\- -r- dv, y + ^ ds;\ l'aire du ^ "^ du dv dv
da triangle est par suite, en vertu de son expression connue par un déterminant, égale à ^tift£^(^mod J(u> v)^ en valeur principale.
32 PREMIERE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
et à partir de valeurs sufGsamment petites de du, dv^ inférieur à un nombre donné, a, si petit soit-il : sans cela, on ne sera pas sûr que la seconde somme tende vers zéro (voir un cas analog^ue au n** 315 du Tome I). La démonstration serait délicate et s*éteii- drait difficilement d'elle-même au cas de l'intégrale triple; il sera plus simple de suivre une autre méthode et de fractionner Ja question.
30. Première partie. — Supposons d'abord qu'on ne chang^e qu^une seule des deux variables, y par exemple, en posant
(I) y=¥{x,u),
u étant la nouvelle variable remplaçant y\ il s'agit de chercher l'expression, en x et m, de l'intégrale
^ = J f A^iy)da;dy.
On peut admettre, sans restreindre la généralité, que la fonc- tion j- garde un signe constant dans le champ d'intégration : en
effet, -T- est une fonction de x et de w, et, par suite, d'après (i), c'est une fonction de x et de y, soit f{x, y) ; or, la courbe
divise le champ primitivement donné en champs partiels, dans
chacun desquels la fonction o, c'est-à-dire -r-> conserve le même
' * ou
signe, et il suffira de supposer d'abord que G est un des champs partiels.
Cela posé, regardons x et y comme les coordonnées rectangu- laires d'un point dans un plan P, x et u comme les coordonnées d'un point dans un plan P', et établissons entre les points de P et de P' la correspondance suivante. A un point M'{x^ u) de P', fai- sons correspondre le point M de P, qui a même abscisse, x, et qui a pour ordonnée la quantité j^ définie par (i), y = F(x, u).
Lorsque le point M (Jig. i3) reste à l'intérieur du champ C, le point correspondant M' reste à l'intérieur d'un champ G'; il est clair que si M est sur le contour de G, M' est sur le contour de G' •
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 3'i
de plus, pour les deux champs G et C, les abscisses extrêmes X9 etXg sont évidemment les mêmes : on admet essentiellement que la correspondance entre les points des deux champs est uni- voqucy c'est-à-dire qu'à un point x, u de C ne répond, par (i\ qiruo point x, y de C, et inversement. Cela posé, on peut écrire l'intégrale l :
<-2)
1= f 'dx f ' f{x,y)dy {y,<yt\
y s et j^2 étant les valeurs de y qui correspondent, sur le contour du champ C, à la valeur x de l'abscisse.
Fig. i3 et \\.
|
,v |
M ! |
) |
|
|
i |
J^ |
/; 1 i |
|
|
0 |
J^«; |
a2\ |
,Xo |
|
// |
(PO \^ |
U3- M' \ |
1 N' ) 1 |
|
0 |
^0 |
00 |
Xo |
Or, dans l'intégrale / /(x, y) dy^ x est regardé comme con-
stanl; si donc on pose j^ = F(x, w), on aura dy = -r-du^ et, par
suite,
(3j
W| et Wj étant les valeurs de a qui répondent par y = F(x, u)^ aux valeurs^! et^j de j^; ce sont, en d'autres termes, les u des points du plan P' qui correspondent aux points (x, ^, ) et (x, ^2) du plan P. Soient U| la plus petite, U2 la plus grande des quantités u^^ Ui\ H. - II. 3
34 PREMIÉRB PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
je dis que l'on a
(4) y""/(^.F)^^" = / '/(^,F)niod(~)rf«.
Car la relation
dy = ^— du
^ au
montre que, si j- est posilifdans le champ, u croît en même temps que^ {x étant constant), et, comme on a y, < J^a, on aura
Ml < Wî,
c'est-à-dire que
et la relation (4) est évidente. De même, si t~ est négatif dans le
champ, u décroît quand y croît (x étant constant), et, comme
on a yt <7'2î o" aura
u, > a„ d'où
Wl^Uî, M,-Ui,
et la relation (4) est encore évidente.
Donc enfin, en vertu de (2), (3) et (4), il vient
(5) \r^ Ç ' dx C ' f{x,¥)moà(^^du.
Si maintenant on se reporte à la figure i4, on voit que le second membre de (5) n'est autre chose, d'après sa forme même, que l'intégrale double
/jr/(.,F)«od(g)^.rf«
prise dans le champ G'; car, pour calculer celte intégrale, la règle générale conduit précisément à écrire le second membre de (5).
On a ainsi résolu le problème, c'est-à-dire trouvé la forme de l'intégrale donnée en introduisant les variables x ei u \ observons
maintenant que j- n'est autre chose que le jacobien des anciennes
variables, x et y, par rapport aux nouvelles, x et u. Les formules
|
CHAPITRE I. — INTÉGRALES |
MULTIPLES. |
|
|
de transforma tioQ |
||
|
x = x, ^ = F(a7,w) |
||
|
doDnenl en effet |
||
|
d{x, u) |
I o àx du |
dF " du' |
35
La formule (inale est donc
■^^ Jf A^^y)^^^y = ffA^^^)^<'^J(^d^^^'
B€marqu€. — Cette formule est indépendante du signe con- stantque-^-a été censé garder dans le champ C; on en conclut qu^elle est vraie même si -p change de signe dans le champ.
En effet, supposons que, dans la partie C| du champ, %- soit
positif, et que, dans la partie C2, il soit négatif. La formule (6) étant vraie pour les champs C| et C^, on a
f f /(^» y)dxdy=z f f f{x, F) raod J dx du,
I I f{^f y)dx dy = j j f{x,F)mod5 dxdu;
d'où l'on tire, en ajoutant membre à membre,
/ / /(^» y) dxdy== 1 j /(o?, F) mod J dx du,
Celant le champ total, C, -i-C'jj, ena:et w, qui répond au champ C en X t\, y. c. q. f. d.
31. Seconde partie. — Changeons maintenant les deux va- riables X Qi y\ soient m et ç? les nouvelles variables.
Si nous prenons d'abord pour variables, à la place de x et j/-, les variables x et m, nous aurons, comme on vient de le voir,
y étant remplacé, dans la seconde intégrale, par sa valeur en x et u^
36 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉURAL.
et C étant le champ des systèmes de valeurs de x, u qui corres- pondent aux valeurs x^y du champ G.
Prenons maintenant comme variables, à la place de x et de u, les variables u eX. v\ nous aurons, toujours d'après (6),
G" étant le champ des systèmes de valeurs de w, v qui corres- pondent aux valeurs x,, u du champ G', c'est-à-dire aux valeurs x^ y du champ G.
Or, d'après une propriété fondamentale des jacobiens (T. I,
n*^ 49), on a
àjx.y) dix, u) _ à(x, y) d{x,u) d{UfVJ ~" ô(UjV)*
ce qui donne finalement
X et y étant, au second membre, supposés remplacés par leurs valeurs en u et v : c'est le résultat trouvé, moins rigoureusement, au n° 29.
Voici donc la conclusion.
32. Règle. — Pour changer de variables dans une intégrale double
J j fi^^y)dxdy,
on substitue à x et y^ dans f{x^y)^ leurs valeurs en fonction des variables nouvelles u et r, et Von remplace dxdy par mod3 dudi>^ J étant le facobien de x et y par rapport à u et ç.
Le champ de V intégrale nouvelle est V ensemble des systèmes de valeurs de u, v qui correspondent aux systèmes de valeurs de x^ y compris dans le champ primitif G.
Ainsi, le champ G étant défini par une ou plusieurs inégalités
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES. 87
le champ nouveau sera défini par les mêmes inégalités, où l'on suppose X eiy remplacés par leurs valeurs en ii et t*.
33. Remarque. — Les démonstrations précédentes supposent qu'à un point {x^y) du champ primitif C correspond un et un seul point du champ nouveau en w, r, et inversement. S'il en est autrement, on décomposera le champ primitif en champs partiels, de manière à vérifier la condition indiquée.
Par exemple, si C est Pinlérieur du cercle x^-\- y^ — R^r=: o, et si Ton pose
on décomposera le cercle en quatre quadrants, par les axes de coordonnées; à un point ('/, i^) correspond alors, dans chaque quadrant, un seul points, r, et réciproquement.
L'intégrale double donnée sera ainsi la somme de quatre autres, ù chacune desquelles on appliquera séparément la règle du chan- gement de variables.
3i. Intégrale triple. — La règle est la même pour une intégrale iriple; on remplace dx dy dz par du dv dw mod J, J étant le jaco- bien de .c, y^ z par rapport à ii^ v^ iv. La démonstration est sem- blable à celle qui précède.
Applications.
3o. Coordonnées polaires. — Si l'on pose a7 = pcos<o, ^ = psinoi),
on trouve
c>(p,a>) ^'
n, comme p est essentiellement positif, dxdy doit être remplacé par p dci diùy ainsi qu^on Ta trouvé au n" 27.
Comme application, cherchons le centre de gravité du demi- rercleCj de rayon R, tangent à Torigine à l'axe des^ {/^ff' ^5). Ce point est évidemment sur la parallèle à Oy menée par le centre D ; il suffit donc de calculer son ordonnée r^.
38 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCLL INTÉGRAL.
On aura (n« 24)
j j ydxdy i j j jr dx dy
T^ =
11'^"''
7rR«
car l'aire du demi-cercle, qui est le dénominateur de t^, esl
2
Transformons Tinlégrale du numérateur en coordonnées po-
laires; il vient
-7:R'7)= / / p'sincDcfp 6^(1).
Commençons à intégrer par rapport à p, en écrivant -ttR'yj = / sinoxibi / p* rfp.
Les limites de l'intégrale en p sont o et OM, valeurs de p qui correspondent à Tangle polaire to sur le contour du champ; les
limites de l'intégrale en co sont o et —7 valeurs extrêmes de l'angle
polaire sur le contour (n® 27); et, comme 0M = 2Rcosci>, il vient
-7:R*7)= 1 ûnt3i dtii j p« û?p = - / 8R> cos'wsinio «fco,
16 R J^ \ 4 /o 4
d*où, finalement,
36. Remarque. — Si le champ C est la région comprise entre
4 R
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 3iJ
les deux cercles de rayons Rq et R| qui ont Torigine pour centre, et entre les deux rayons vecteurs d^angles polaires (Oq et a>i i^ff. i6), on a
/» /» y* Ci)l /«Ri
/ / /(p, <•>)«?? rfu>= / dui I /(p,u)),
^ Je J(û^ *^R.
les limites étant des constantes absolues.
Car les valeurs de p qui correspondent, sur le contour du champ,
Fig. i6.
à l'angle polaire co, sont Ko et R| ; les valeurs extrêmes de co sur le contour sont 0)0 et (i>|.
On peut dire aussi que le*champ est défini par les inégalités
u)olculu>|, Ro=p = Ri,
c^est-à-dire que, si o) et p sont regardées comme les coordonnées rectangulaires à^nn point d^un plan, le champ est l'intérieur d'un rectangle de côtés parallèles aux axes {fig, 17). Donc (n° 15)
Fig. 17.
Ri-
a>o
-L-O)
CUi
les limites sont Rq etR| pour l'intégrale en p, Wq et Wi pour l'in- tégrale en co.
Les coordonnées polaires seront donc très avantageuses quand on aura à calculer des intégrales doubles dans des champs limités par des cercles concentriques et des rayons issus de leur centre commun.
[O PREMIERE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
37. Volumes et aires planes en coordonnées curvilignes. — Soit la surface défînie paramétriqiiement par
xr=a-(u,v), y=y(u,v), s=z{u,v).
Le volume compris enlre celte surface, le plan des xy el un cylindre droit ayant pour base, dans ce plan, une courbe C, est, comme on sait (n^ 18),
V=-- Ç Ç zdxdy\
si l'on remplace dans l'intégrale x^y gI z par leurs valeurs para- métriques en u et <', celle-ci devient
V.//,U.,.)n.«d(-g-gft).„*,
le champ, en ;/, r, étant déterminé comme on l'a expliqué au n<*32. Faisons, dans ces formules, :; = i; elles donneront Vaire de la portion du ])lan des xy comprise à l'intérieur du champ C.
Exemple. — On demande la valeur de l'aire ombrée C
Fis. i«.
{Jig» i8), comprise entre les quatre paraboles
^î=:aoir, y^^a^x, x^^b^y, x^ — biy,
en supposant «i > «o > <S ^i > ^o > o.
Dans rinlégrale qui donne Taire, à savoir / / dxdy^ faisons le changement de variables
y^ _ ^' _
CHAPITRE I. — INTEGRALES UL'LTIPLES.
\y
On en tire
d'où, pour le jacobîen,
1 i
1 i
à(T,y)
L'intégrale proposée devient donc
d'ailleurs, le champ ancien, en x et j', étant défini par les inéga- lités
«0=1 - _«!♦
le champ nouveau, en u et r, sera défini par
ce sera donc l'intérieur d'un rectangle, el l'on aura, pour l'aire cherchée,
38. Élément de volume en coordonnées polaires et semi-polaires. 1° Les coordonnées polaires d'un point M de Tespace {fig- 19)
Fig. 19-
|
M |
||
|
0/ |
9^ |
|
|
6-J* ^^^ -.^ |
(Tome I, n" 283) sont les quantités p, 0 et ^ de la figure: si -^O'j ^ sont les coordonnées cartésiennes rectangulaires de ce
4'2 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
point, on a
X = Oq = Omcost}' = psinO C05<|/, y = mq = 0/n sint}' = p sin6 siinj/, 5 = Mm = p cos6.
Il importe d'observer que, quelle que soit la position de M dans l'espace, on peut supposer p positif, 8 compris entre o et tî, i( compris entre o et it.. Réciproquement à un système de valeurs de p, 0, i( satisfaisant à ces conditions correspond un et un seul point (^, ^, z) de Tespace.
Les formules de transformation ci-dessus donnent :
sinOcos^|' pcosÔcos({/ — psinOsint}' sin6siD({/ pcosOsin<|/ psinÔcos<|/ cos6 — p sin6 o
= p* sinC
Ainsi, dans une intégrale triple, l'élément de volume dxdy dz sera remplacé par p^ sinÔ rfp rfÔ rft{/ ; il n'y a pas à introduire le module du jacobien, puisque p^ et sin9 sont positifs.
tP Les coordonnées semi-polaires de M sont Om = r, 4 et z\ on a les formules de transformation
a7=rcostj^, ^=rsiin}/, z=^z. On peut supposer r positif et A compris entre o et au.
{j ( ir V z \
Le jacobien , , ' . - — i- est éeral à r : l'élément de volume sera
^ d{r, ^, z) "
donc rdrdijdz^ puisque r est positif. Voici quelques applications.
39. Volume d'une portion de sphôre. — Considérons un corps V limité {fig. ao) :
1** Par deux sphères, ayant l'origine pour centre, de rayons po et p< ;
•2' Par deux demi-cônes de révolution autour de O^, d'angles au sommet 2 6^ et 281 ;
3° Par deux demi-plans menés par O-s, et faisant avec zOx les angles i^^ et i/^.
L'emploi des coordonnées polaires est très avantageux dans
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 4^
toutes les intégrales triples étendues au corps V. En effet, pour un point quelconque (p, 0, ^) de ce champ, on a
Po^P^Pi, Ooieie,, loêi'^li,
et réciproquement, si p, 6, ^ vérifient ces inégalités, le point (p, 8, ^) est à rintérieur de V.
Si donc on transforme en coordonnées polaires une intégrale
^=JfjA^,y.^)dxdydz,
ayant V pour champ, le nouveau champ, en regardant p, 6 et •}
Fig. 2o. X
comme les coordonnées rectangulaires d^un point, sera un paral- lélépipède rectangle de faces parallèles aux plans de coordonnées. On aura donc (n® 17)
JJ J A^,y,^)dxdydz
= / rfp / d^ j rf«^p*sinÔ/(p sinO cos<|/, p sin6 sin<|/, p cosG) f p*rf? / sinOrfe / fd^,
p. A ^+.
Ainsi, le volume du corps V s'obtiendra en faisant /= i; d'où
44 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
40. Moment d'inertie d un volume de révolution par rapport A son axe. — Les coordonnées semi-polaires sont avantageuses dans les questions relatives aux surfaces de révolution autour de Oz.
Considérons, par exemple, le volume de révolution V engendré par une courbe fermée du plan des xz^ tournant autour de O:;.
Soit z = 'f (•^) cette courbe (/ig- 21), supposée rencontrée en
Kig. 21.
deux poinis, au plus, par toute parallèle k Oz : désignons par '^i(x) et ^2(^0) les deux valeurs de z qui correspondent, sur la courbe, à Tabscisse x, ?i(-2^) étant inférieur à '^^{x).
Le moment d'inertie (n° 23) du volume V, par rapport à O^, est, en coordonnées semi-polaires,
I .-^ Ç Ç Ç {x^-^y'^)dxdydzr= Ç Ç Ç r^drd^dz.
Écrivons
= f fr^drd^ Çdz,
les limites de l'intégrale en z sont les valeurs de z qui corres- pondent, sur la surface de révolution, aux valeurs r et ^ des deux autres coordonnées, c'est-à-dire, puisque :; = C5(r) est Téquation de la surface,
et le champ de cette intégrale double est Tensemble des valeurs de/-, 'i qui correspondent aux points du volume de révolution.
CHAPITRE I. — INTÉGRALKS MULTIPLES. /|5
t'n d'autres leruies, ce champ est la région du plan des xy où se l>rojeUcni les points du volume, c'est-à-dire la couronne circii- (aire comprise entre deux circonférences de centre O et de i'aj^ons Ro et R|, Ro et R| désignant le minimum et le maximum de /a distance d'un point de la courbe méridienne à Taxe Oz. Par suite (n° 36) l'intégrale double s'écrit
y^R| y»Jlt y«R|
il- Exemples. — i" Sphère. — La méridienne est
uoù
ei
r^ ^
"our intégrer, on prendra pour variable r^, puisque Ton n'a, ^^s le signe / , que /• dr et r- ; mieux encore, on posera
^oe^
= \-K f {K^—ti)t^dt=^'KKK
•2" Cylindre, — On a évidemment, en désignant par h la hauteur du cylindre, par R son rayon et en sup])Osant la base dans le plan des xy^
çs(a7)=/i, pi(a7)=o; donc
3' Tore, — La méridienne est (^fig> 2 '2)
d'où
(p,(a7) = -f-y/Ri — (ar — a)î, çp,(ar)= — /R» — (a: — a)«
46 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
On a donc
rt-R
Pour intégrer, on peut ramener aux lignes trigonométriques en
posant
r — a ~ R sin<p; ce qui donne
I=4TrR* 1 (a -H Rsincp)» cos*<pû^ç; "" 2' ou, en développant,
FTï ï = «' / cos*9 t/<p -h 3a*R 1 sin c? cos* © û^o
a «
-h3aR* / sin'çp cos*tprftp -h R' / sin'ç cos*<p rf<p. ~ "1 "" î
Au second membre, la deuxième et quatrième intégrales sont
Fig. 22.
^
nulles, car ce sont des intégrales de fonctions impaires, entre des limites égales et de signes contraires (Tome I, n® 263, 4**)-
On a d'ailleurs, en se servant des formules établies à propos de celle de Wallis (Tome I, n« 273),
/cos> oû?cp = 2 / (i--sin»cp)6?© = !i(- )= -,
2
7Ç 7C
/ sin*çpcos*9rfo = 9. / sin*o(i — sin*9)rfo = 2 ( 1--)=1-.
J 11 • •/o V^ 2 2.4 97 8
CHAPITHE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 47
Finalement
\2 8 / 2 ^^
V. — AIRES SUR LES SURFACES.
42. Définition. — Soit S une surface, pour laquelle les coor- données d'un point par rapport à trois axes rectangulaires, Ox, Oyj O3, sont des fonctions de deux paramètres, u et r, et sur laquelle le carré de l'élément d*arc a pour expression (Tome 1, a- 412)
{i) ds^= E{u, ç)du^-{' '2F(i/, v) dudv H- G(m, v)dv^.
Considérons une portion finie. A, de S; les valeurs de n^ v qui répondent aux points de cette portion vérifient certaines inégalités, et réciproquement; sous une autre forme, si Ton regarde «, r comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan, aux points de la portion de surface A correspondent les points d'une région, C, de ce plan. Nous supposerons que la correspon- dance ainsi établie entre la surface A et la région C est univoqiiey le .mot a^ant la signification donnée au n^ 30.
Cela posé, nous définirons l'aire, X^ de la portion de surface A par la relation
(a) X= I f v/EG — F« du dv,
l'intégrale double étant prise dans la région C du plan des us^.
Cette définition est indépendante du choix des axes de coor- données, Oj:, Oy et O-s, parce que, si Ton fait un changement d'axes rectangulaires, en gardant toujours les mêmes paramétres u et r, l'expression (i) de ds^ demeure évidemment inaltérée, en raison de sa signification géométrique.
Je dis maintenant que la définition est indépendante du choix des paramètres u et v. Faisons en effet le changement de
48 PREMIERE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
variables
(3) «=/(«',/), v=,:r(u\i>'),
l'expression de rf*^ devient
rf*«=E(/,^)(g^«'+grf.')V ,
ce qui s'écrit
(4) ds^= Eidu'*-h'àFxdu'dv'-h G| ^i''«,
étant posé
l * ~~ \àu' / du' Ou' \àu' /
^ ^ i du dv \ du dv dv du j du dv
dans les seconds membres, E, F, G désignent
Dans le système des paramètres u\ v ^ l'aire, X\^ de la portion de surface considérée est définie, d'après (4)^ par la relation
( r>) A., = f f /K,Gi— F| c/a' dv',
C| étant la région du plan des a', i^' qui répond à la portion de surface, c'est-à-dire qui répond, par les formules de transforma- tion (3), à la région C du plan des u^\ Il s'agit d'établir que Xi est égal à X,
Or, si, dans l'intégrale double (2), qui donne <^l), on effectue le changement de variables (3),
cette intégrale devient
'A. -JJ •E(/,^)0(/,^;-FH/,^; mod ~^^^ du' dv', C| étant le champ du plan des u\ p' défini tout à l'heure.
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES. 49
D'ailleurs, des relations (5), on déduit, par un calcul facile, ridentilé suivante :
E,G,-P,.,EG-F.,(gte-|r'j)-. c'est-à-dire
E, F, G désignant encore
E(/, ^), F(/,^), G(/, ^). L'expression ci-dessus de <A> s'écrit donc :
.1,= / / v/tliO,— Fî du dv\ c'est-à-dire r.l, = d,,.
C. Q. F. D.
i3. Cas particuliers. — Pour une surface représentée par z=f[x^y)^ on a (Tome I, n® 414)
( 7 ) ds^ = ( 1 -f. ^ï ) dx^ -h ipq dx dy -^{\ -h q^) dj-^,
p et q désignant-^ et-r^^ L'aire de la portion de surface qui se
projette à Tinlérieur de la région C du plan des xy, et qui n'est coupée qu'en un point par toute parallèle à O^ avant son pied dans celte région (*), est donc, d'après (7) et (2) :
(S)
X, = I I ^i-hp*-\- q^dx dy.
On aurait des expressions analogues en résolvant Téquation de la surface par rapport à y ou à x.
Si la surface est le plan 5 = 0,/? et^ sont nuls, et Ton retrouve,
pour &^ l'expression ordinaire de l'aire, / / dxdy.
44. Remarque I. — La quantité y/EG — F^ du dv^ qui figure sous le double signe sommatoire dans l'expression de X^ n'est
(*) Car il est nécessaire que la portion de surface et le champ C se corres- pondent d'une manière univoque.
H. — II. 4
5o PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
autre chose que la valeur principale de réiément d'aire sur la sur- face proposée, en coordonnées curvilignes (Tomel, n° 418). Mais il eût été difficile de partir de cette expression pour définir Taire d'une région finie de la surface, parce qu'elle ne donne qu'une valeur principale, c'est-à-dire approchée, dont on ne peut fixer aisément le degré d'approximation.
L'expression (2) de l'aire, ne dépendant que de E, F, G, est la même pour deux surfaces applicables l'une sur l'autre (Tome I, n° 455), c'est-à-dire que la représentation d'une surface sur une autre, quand elle conserve les longueurs, conserve aussi les aires.
Remarque II. — On a trouvé (Tome I, n** 418) EG — F«=A«-4-B«-+-C«,
A, B, C étant les coefficients de l'équation du plan tangent (Tome I, n° 408). On pourra donc remplacer EG — F^ par cette valeur, dans (2).
45. Exemple I. — Soit la sphère x'^-^-y'-^- z^= R*-*, de centre O, rencontrant en A {fig» aS) la partie positive de l'axe des x. On
Fig. !^3.
considère, dans le plan des xy^ une ellipse intérieure à la sphère, d'axe Ox^ de sommets O et A, d'équation ^2-_ ^a^^R __ ^^ . on demande l'aire de la portion de sphère située au-dessus du plan des xy^ qui se projette à l'intérieur de la demi-ellipse OMA. En dérivant par rapport à ^ et^ l'équation ^^ _|_^2 _|_ ^2 __ j^a^
on obtient les valeurs de ^ et —> ou /? et y : 57-+-/?^ = 0, y -\- q z = o.
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 5l
L'aire cherchée, Jl», est donc, d'après (8),
~ / l dxdy— -= I I dr dy — y
en verlu de l'équatioa de la sphère.
Calculons X en commençanl Tintégration par rapport k y\ les limites, dans Tinlégrale en y, sont o et l'ordonnée, pour Tabscisse a?, de l'ellipse r'= m*j:(R — .r); dans l'intégrale en x^ les limites sont o et R. On a donc
f dx j
L'intégrale indéfinie / , Jj__,_ étant Arcsin — > il vient
e^ = R 1 Arcsin . — dx = li 1 Arc sinw i / dx.
Calculons l'intégrale en x par le changement de variable
Arcs.nm^^^-^ = «. ou ^-—^sm^,-
d'où
__ Rsin*/ , __ R/n*cos/sinf ,
et
Arc»lo -7:; al, -= R* f
v^* . cos/sîn/ /^* ^a i . _ . </^
cos/ sinr rf<
La quantité 27 — . ^,,^ étant la différentielle de — ^ r-r-*
^ (/n*— 8in«^)« m*— sin«^
OQ trouve, en intégrant par parties.
Arcsin —
V/n«— sin«//o • J^
'intégrale restante se calcule aiséme variable tang^ = a (Tome I, n*» 230, i")
Arcsin —
V^ dt
m* - s'in^t L'intégrale restante se calcule aisément par le changement de
52 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
Dans le cas particulier de m = i, l'ellipse devient une circonfé- rence; rintégrale indéfinie au second membre est tang^, et, comme
Arcsin—z = -, on trouve
tAo
-(=-)•
Sous une autre forme, si, du huitième de sphère compris dans Tangle positif des axes, on retranche la partie qui se projette à l'intérieur du demi-cercle décrit sur OA comme diamètre dans
le plan des xy^ Taire de la portion restante est -tcR^ — JU, c'est- à-dire R^. Elle est donc exactement quarrable; c'est le problème dit de la voûte de Viviani.
46. Exemple II. — Soit la sphère représentée paramétrique- ment, en coordonnées polaires, par les équations (Tome I, n** 416)
07 = R sin6 cos»}', y = R sioO sinJ/» ^ = R cos6;
on demande Taire (ombrée) (Jig* 24) comprise sur cette surface
entre les méridiens A = tj/o, ^ = 'J'i , et Tare AB de la loxodromie (Tome I, n® 467) définie par Téquation
lang- = Xtf"*.
On a trouvé sur la sphère (Tome I, n** 416) ds^= R«(£ie«-+-sîn»erf^/*);
CHAPITRE 1. — INTÉGRALES MULTIPLES. 5 (
d'où
Ecrivons
eJl, = R* fd^ Tsinec^e.
Les limiles de l'intégrale en 6 sont les valeurs de 6 qui corres- pondent, sur le contour du champ, à la valeur ^ de Tautre coor- donnée, c'est-à-dîre les 0 des points P et M où le méridien A coupe ce contour. La limite inférieure est donc o (point P); la limite supérieure (point M) est la valeur, 0, que fournit, en fonction de <{/, l'équation de la courbe, c'est-à-dire
tang- = X ««'!',
0 ~ 2 arc tangXc«4'.
Ainsi
'*• r^ r'^' ,l.rcfnR)..-i'
cl, = R« f ' d'^ f sin0^O = R« f ' <i^;( - cosO)''
c'est-à-dire, en utilisant la formule qui donne cos2^/ en fonction de tangi/,
et finalement, puisque, sous le signe /, le numérateur est la dérivée du dénominateur,
R« i-f-X» <?»«+. a ° i-h X*eî«i'o
47. Remarque. — On peut parfois évaluer une aire par une seule quadrature; un premier exemple en a été donné au Tome 1 à propos de l'aire des surfaces de révolution : en voici un second.
Soit le cylindre de révolution (la méthode s'appliquerait à un cylindre quelconque)
x^-hy^= R»; CD demande l'aire comprise sur celte surface (Jig- aS), entre le
54 PREMIBBE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
pian des xy et le plan
z = ax-\- b.
Sur la circonférence de base dans le plan des xy^ marquons deux points voisins, m et m', de coordonnées x,y et x -\- dx, y -f- dy : les génératrices qui passent par ces points découpent, sur Taire à évaluer, une surface (ombrée) infiniment petite. La valeur prin- cipale, rfo-, de celte surface est évidemment Taire d'un rectangle
Fig. 25.
qui aurait pour base Tare de cercle mrni ,^ et pour hauteur mn, c'est-à-dire ax-r-b^ on a donc, en remplaçant mm' par la diffé- rentielle de l'arc
dfs =z dx^i -{-y^{ax-r- b). (3r l'équation x^-{-y''rz^ R^ donne
^-^yy'= o,
d'où y'^ et
d(5 = dxi/ i-\ -(ax-h b)= ^ ~(ax-\'b)dx.
La moitié de la surface totale cherchée s'obtiendra évidemment par l'intégrale simple
ax -+- b
qui se calcule très aisément.
dxj
CHAPITRE I. — FNTÉGRALES MULTIPLES. 5S
VI. - EXTENSION DE LA NOTION D INTÉGRALE DOUBLE ET TRIPLE.
48. Définitions. — Cherchons d'abord à étendre la notion d'in- tégrale multiple au cas d'un champ infini, ou A"* \xne fonction à intégrer discontinue.
Soit, par exemple, une intégrale double
f j A^l y) <i<Ty
prise dans un champ C. Si la fonction /(a:, ^) devient discon- tinue en un point du champ f exemple —^^ — -A ou le long d'une
( \ ~^y /
exemple -— — ]> on partagera le champ C en deux régions.
R et r, dont l'une, r, enveloppe le point ou la ligne de disconti- nuité.
Dans les figures ci-dessous {fig- 26), O et AB sont le point et
Fig. a6.
la ligne de discontinuité, R est la région ombrée, r la région non ombrée.
De même, si le champ d'intégration est infini, on le décompo- sera en deux régions, l'une, R, finie, Tautre, r, s'étendant à l'in-
flDÎ.
Cela posé, l'intégrale
U^^^'^^
d(J
56 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
aura une valeur finie et déterminée, puisque /(^, y) est continue dans R, et que R est fini; on appellera valeur de V intégrale double, dans le champ C primitif, la limite vers laquelle tend
/ / fi^^y)^^ lorsqu'on fait décroître indéfiniment Tétendue
de la région r (cas de la discontinuité) ou croître indéfiniment l'étendue de R aux dépens de r (cas du champ infini).
Cette définition suppose essentiellement que / / tend vers
une limite finie, déterminée, indépendante de la forme de la région /-.
49. L'extension précédente est une généralisation directe de celle qui s'est présentée dans la théorie des intégrales simples; il y a toutefois, entre les deux cas, une dilTérence importante.
Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans l'hypothèse d'un champ infini. L'intégrale simple
r
f{jr)dx
f /(.r) dx^ pour p croissant indéfî-
a
niment; dans cette dernière expression, à mesure que /> augmente, les éléments y( a:) ûfjc se présentent dans un ordre déterminé, qui est celui des valeurs successives et croissantes de x. Au con- traire, dans l'intégrale double / / /(^,y) dfi, dont le champ R
augmente indéfiniment, rien ne fixe a priori Tordre dans lequel se présentent les éléments /(x, y) d<j] cet ordre dépend de la ma- nière dont on fait croître R aux dépens de r. De là résulte une profonde dissemblance.
En elTet, dans le cas de l'intégrale simple, les éléments positifs
et négatifs de l'intégrale j f{x)dx peuvent avoir séparément
des sommes infinies, leur différence restant néanmoins finie (Tome I, n*" 301), à cause de l'ordre bien déterminé dans lequel se succèdent ces éléments dans la somme totale. Il en est tout autrement dans le cas de l'intégrale double : faisons croître R; la somme des éléments positifs de l'intégrale augmente avec R et
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MULTIPLES. 5y
tend par suite vers une limite finie ou infinie L|, indépendante lie la manière dont R croît aux dépens de r ( * ) ; de même la somme (les éléments négatifs a une limite finie ou infinie — L2. La con- dition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale double ait une valeur finie, déterminée, et indépendante de la forme de la région r, est que les limites L| et La soient séparément finies : car si elles étaient toutes deux infinies, la différence L| — L2 serait indéter- minée, puisque Tordre dans lequel se succèdent, dans l'intégrale totale, les éléments positifs et négatifs, est tout à fait arbitraire. Si; au contraire, L( et L^ sont finis, Tintégrale double aura pour limite L, — L2, quelle que soit la forme de la région r.
Des considérations identiques s'appliquent au cas de la discon- lÎDuilé de la fonction.
Ainsi, pour que l'intégrale / / /{a:^y)dv ait une limite finie
et déterminée, il faut et il suffit que les éléments positifs et néga- tifs de l'intégrale aient séparément des sommes finies, condition équivalente à la suivante :
L intégrale
f f{moàf{x,y)]dis
doit avoir une limite finie,
30. Il n'y a pas de règle générale permettant de reconnaître si l'intégrale / / [mod/(^, ^)]rfT a (ou non) une limite finie;
comme dans la théorie des intégrales simples, on doit se borner à <les règles particulières dont voici les plus intéressantes.
Si. Champ infini. — Supposons que, pour tous les points x^ y^ extérieurs à un cercle fixe Co, de ravon po, on ait
? étant la distance du point ^, y au centre du cercle Cq, A une
(') Cur une somme de termes de môme signe est indépendante de I*ordre de ces termes.
58 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
constante, a un exposant supérieur à a. Je dis que, dans ces con- ditions, Tintégrale
r r
[mod/(a?, j^)]rfçi
//'
est finie dans un champ infini quelconque.
En effet, dans la partie du champ intérieure au cercle Co, l'in- tégrale ci-dessus a une valeur finie, si, bien entendu, f{^yy) est une fonction continue dans le champ donné ; quant à sa valeur dans la partie du champ extérieure au cercle Co, on l'augmente en pre- nant pour champ toute la région du plan extérieure à ce cercle, car tous les éléments de l'intégrale sont positifs. Or, dans ce nou- veau champ, on a, d'après Thypothèse,
Jj [ mod/(a?, y)] d<5 < Jj -pdp rf(o,
en remplaçant l'élément d'aire, rfo-, par pdpdb)^ en coordonnées polaires (n° 27). Dans l'intégrale double du second membre, les limites sont po et oo pour p, o et 2TZ pour co (n® 36); elle s'écrit donc
A / Sr- / ^^y c'est-à-dire ( — -r ,
expression qui se réduit à ___ pô""^, puisque a >• a. Celte quan- tité étant finie, l'intégrale double primitive est elle-même finie.
c. Q. F. D.
o2. Fonction discontinue en un point. — Supposons que /(o;,^) soit infinie en un point O, mais de telle sorte que, dans l'intérieur du cercle Co, de rayon po, ayant ce point pour centre, on ait
moi\f{x,y)Ç —,
P
p étant la distance du point a:, y au point O, A une constante, a un exposant inférieur à a. Je dis encore que, dans ces condi- tions, rintégrale
[mod/{x, y)] d<j
ff^
est finie dans un champ fini quelconque, entourant le point O.
CHAPITRE I. — INTÉGRALES MVLTIPLES. Sq
Il suffit en effet de le démontrer en prenant pour champ tout Pintérienr du cercle Co. Or on a, diaprés Thypothèse,
j f [aïod/(x,y)]d<j^J I ^pdpdw, et l'intégrale du second membre s'écrit
elle est donc finie et égale à ; — '■ - pj"", puisque a est inférieur à 2. Il en résulte que l'intégrale double primitive est elle-même finie.
c. Q. F. n.
o3. Fonction discontinue le long d'une ligne. — Supposons que /{Xj y) soit infinie le long d'une ligne L {fig. 27), mais de
Hp. 27.
lelle sorte que, dans une zone R, limitée par deux lignes L| et L2, parallèles à la ligne L et comprenant celle-ci, on ait
mod/(.r,j'r j-^>
l étant la distance du point xy à la ligne L, A une constante, a un exposant inférieur à l'unité. On peut établir assez aisément que
rinlégraie / / [mod/(a:, ^)]rfT est finie dans un champ fini
quelconque, traversé ou bordé par la ligne L.
Pour simplifier, on ne donnera cette démonstration que dans le cas où la ligne L est une droite, qu'on peut toujours supposer coïncider avec l'axe des x.
Il suffit évidemment d'établir la proposition en prenant pour
(>0 PREMIÈRE PARTIE. ~ COMPLÉMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
champ la région (ombrée) limitée par Taxe des *r, l'une des lignes L2 ou L| {fig. 28), qui sont ici des droites parallèles à Oj", et par deux parallèles quelconques à Oy, situées à distance finie.
Soient
y^h^ r = o, X = a^ X — b
les équations des quatre droites limitant le champ; on a dans ce
Fig. 18.
L2
Wêm0É
champ, en vertu de l'hvpothèse,
ffi^od Six, y)\ d^^\Jjy^dx dy.
L'intégrale du second membre s'écrit
A C^" dy r* . , , ^. -\(h — a)/ r \^
quantité finie, puisque a < 1 ; ce qui démontre la proposition.
Exemples,
Si. Triangle. — Désignons par P, Q, R trois fonctions linéaires de x^ y] l'intégrale
J J P^fKt'
prise à l'intérieur du triangle formé par les trois droites P=o, Q = o, R = o, est finie et déterminée si a<;i, P<;i,Y<^'
Soit en effet ABC le triangle considéré {Jig* 29); retranchons-en ^ aux angles, les trois petits parallélogrammes ombrés : il s'agit
GBAPITBE I. — INTÉGRALES UULTIPLES. 6l
d'établir que l'intégrale
-If
modPaQPRY
prise : i^ dans la région restante non ombrée; 2" dans chacun des parallélogrammes ombrés, est finie.
Or, au voisinage du côté afr, dans la région non ombrée, Q et R ne s'annulent pas, de sorte que, le long de ab et au voisinage de
ce côté, mod — g — est inférieur à une quantité finie; donc, en
vertu d'une proposition précédente (n^ 53), puisque a est plus
petit que Tunité, la discontinuité de la fonction ^ ^^^ > due à
révaoouissement de P le long de ab, n'empêche pas l'intégrale 1
d'être finie. Les exposants p et y étant de même inférieurs à Funité, l'intégrale I est finie dans le champ non ombré intérieur au triangle ABC.
Reste à prendre cette intégrale dans les trois parallélogrammes ombrés. Soit par exemple celui, tc, qui a pour sommet B : si l'on prend pour axes de coordonnées les droites P = o, Q =: o qui se coupent en B, en désignant leur angle par 0, on a, pour l'élément d'aire,
d'ailleurs P(^,j/')est proportionnel à X, Q(^, y) à Y, et, dans le parallélogramme ir, R ne s'annule pas, de sorte que mod -^ reste inférieur à une limite finie. Donc
rfo" ^ ^m r r dX d\
j X modPc'QPRY^^jX
xayp
6l PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
L'intégrale, au seccmd membre, s'écrit
M
. c et 6 désignant les longueurs des côtés du parallélogramme ti : cette expression est finie, puisque l'on a
a < I , ? < I :
l'intégrale I est donc finie dans tc. Elle est de même finie dans les deux autres parallélogrammes, ce qui établit le théorème. On a une proposition semblable pour l'intégrale
//
fix.y)d<s PaQpRY '
prise dans le même triangle, pourvu que f{x,y) reste inférieure en valeur absolue, dans ce triangle, à une quantité finie.
55. Intégrale de Cayley. — Donnons, d'après Cajrley, un exemple d'intégrale double, prise dans un champ infini, et dont la valeur dépend de la forme de la région R : cette intégrale sera nécessairement formée d'éléments positifs et négatifs, de sommes séparément infinies (n^* 49).
Soit l'intégrale
l =z I I s\n(x^-hy^) d<s.
étendue à l'angle indéfini xOy,
Pour la calculer, prenons d'abord pour champ R un rec-
Fig. 3o.
0 a, A
tangle OAGB {^fig^ 3o), de côtés a et 6, que nous ferons ensuite croître indéfiniment.
CHAPITRE 1. — INTÉGRALES MULTIPLES. 6(
L'iûiégrale s'écrit '= / / (sinrr* co5^'-4- cosar* sin^*) c/a? dy
^^ 1 sinx^dx I co^y^ dy -^ j cosx^ dx f s'iny- dy.
Les intégrales (dites de Fresnel)
/ s'inx* dx el / cosx* dx
sont ucii es et égales à — /_> comme on le verra plus tard; on a donc, en faisant croître indéfiniment a et b,
tiVaiuons autrement I, en prenant pour champ R un quart de
Fig. 3i.
*^ de centre O et de rayon p que nous ferons ensuite croître ^iniîite {Jlg- 3i). On a, en coordonnées polaires,
=/i
(sinp')p dp du),
d-dire
^^pression qui n'a pas de limite déterminée pour /> infini.
%. Intégrales multiples en général. — Nous n'avons parlé l^squ'jçj que d'intégrales doubles et triples; la généralisation
6.{ PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
s'impose d'elle-même. Ainsi Finlégrale quadruple ^'-= fffj f^^^y^""^ ndxdydzdt,
étendue à toutes les valeurs de x^ y^ s, / qui vérifient une ou plusieurs inégalités,
?!(^,JK, z, 0>o, ?î>0, ...,
sera finie et déterminée si, pour l'ensemble de ces valeurs, f{x^y^ 3, t) est continue et si aucune de ces valeurs n'est infinie. Le calcul de l'intégrale I se ramènera à celui d'une intégrale triple^ si par exemple on a, pour définir le champ, la seule iné- galité
on aura
^=fffdTdydz\f'''/(x,y,z,t)dt\
or, y^ z étant regardés comme constants dans l'intégrale / et
^1, ^2 étant les valeurs que donne pour ^, en fonction de x, v, z^ l'équation
x^-\-y^-^z^-h r-— R*=o.
Quant au cliamp, V, de l'intégrale triple, il comprendra l'en- semble des valeurs de x^ y, z^ telles qu'il leur corresponde, par l'équation précédente, une valeur de t réelle; ce sera donc Tinté- rieur de la sphère x"^ -\~ y^ -{- z^ — R- rr: o.
57. La théorie du changement de variables dans les intégrales doubles et triples s'étend sans difficulté aux intégrales multiples d'ordre quelconque : on remplace dxdydzdt par
mod J du dv dw t/0,
en désignant par J le jacobien des anciennes variables x^y^ z^ t^ par rapport aux nouvelles, m, r, d', 0.
58.
Dérivation sous les ^^^^^jj^jfj^ •- — On établit,
CHAPITRE I. — INTEGRALES MULTIPLES. 65
comme dans le cas de Fintégrale simple, les formules
pourvu que les champs d'intégration, c'est-à-dire Taire plane C el le volume V, soient indépendants du paramètre a. Ces formules donnent lieu à des observations semblables à celles que Ton a présentées en parlant de la règle de Leibniz (Tome I, n® 322).
H. - II.
66
PRE.VIERE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
CHAPITRE IL
INTÉGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES.
I. - GÉNÉRALITÉS.
59. Intégrale curviligne. — Soit y une fonction bien définie et continue de x^ j^ = {p(;r); désignons par /(x, y) une fonction continue et déterminée de a: et j^ : il est clair que /[^, ?(^)] ^st une fonction continue de la variable x. Dès lors, l'intégrale b f{x^y)dx est une intégrale ordinaire, par rapport à la
/
variable de sommation x. On dit que c'est une intégrale curvi- ligne : pour la déterminer en effet, il faut se donner, non seule- ment la fonction /(;r, j^), mais la courbe y = ©(a:). Figurons
Fig. 32.
cette courbe (yïg. Sa); l'intégrale curviligne ci-dessus se repré- sente souvent par le symbole
(I)
/ f{^yy)dx,
*/amb
AMB désignant l'arc de la courbe y = y(^) sur lequel reste le point x^ y^ entre les limites d'intégration.
Au lieu de x^ on peut prendre^ comme variable de sommation, et l'on définit de même
*^AM
CHAPITRE II. — INTÉGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES. 67
Enfin, on peut considérer des intégrales curvilignes de la forme (2) / [A^,y)dx-^f\f{x,y)dy].
/lUD
•-'AMB
I) est clair que Ton a
/■=-/•
BMA étant l'arc AMB décrit en sens inverse; car dx et dy
changent de signe quand on change le sens du parcours de l'arc.
De même, si M est sur l'arc entre A et B, on a évidemment
•^AB ^AM «'HB
60. Remarque. — D'après cette définition, l'intégrale
/ A^jy)dJF est la limite de la somme
où Ton désigne par a, Xt^ x^^ ..., a:,,, ..., fr les abscisses de points A, /M,, /?î2, ..., rrint ..., B, marqués arbitrairement sur l'arc AMB,
2/
en allant de A vers B, et que l'on multiplie de manière que leurs intervalles successifs tendent vers zéro ; par Ç,,, 7)„ les coordonnées d'un point quelconque compris sur l'arc entre m,i et m^^i. On définirait d'une manière semblable l'intégrale
/'
[/(^,r» z)dx^^{x, y, z) dy -h ^i^, y, z) dz], prise le long d'un arc de courbe gauche j/' = cp, (a:), z = 'f ^(x).
68 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
Extension, — L'intégrale curviligne (i) peut être prise le long d'un arc AMB admettant une tangente parallèle à O/, en G {fig> 33); seulement j^ ne désignera pas la même fonction de X sur l'arc AG et sur l'arc CB : si par exemple ACB est un arc d'ellipse, la fonction y^ sur l'arc AG, correspondra à un certain signe d'un radical, et au signe contraire sur l'arc GB.
Une remarque analogue s'applique à l'intégrale (2).
61. Contours fermés. — D'après cela, on comprend que l'arc d'intégration puisse être un contour, c'est-à-dire une ligne fermée, et cela sans que l'intégrale soit nulle; les intégrales de cette nature jouent un rôle fondamental en Analyse, ainsi qu'on le verra dans la seconde Partie du Gours; avant d'indiquer une de leurs plus importantes propriétés, présentons à leur sujet quelques observations.
Sens positif sur un contour, — Si, en un point M d'un con- tour (y) {fig» 34), on trace la demi-normale, Mj^,, dirigée vers
l'intérieur de l'aire enveloppée par le contour, et si l'on mène la tangente Mo:,, dans un sens tel que l'angle jr^ M^, présente la même disposition que l'angle xOy^ on dit que le sens Mxi, de M vers ^4, définit le sens positif, au point M, sur le contour (y). Le sens inverse, M.r', , est le sens négatif.
Intégrale suivant un contour, — La valeur d'une intégrale curviligne, prise le long d'un contour fermé, en partant d'un point initial et en y revenant, est indépendante du choix de ce point, et ne dépend que du sens de circulation : on suppose, bien entendu, remplies les conditions de continuité indiquées plus haut.
En effet, décrivons le contour (y) {fig- 35), en partant du point A, dans le sens positif; soit B un autre point du contour.
CHAPITRE II. — INTÉGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES. 69
On a
f f{x,y)dx^ f -^ f ^
f f{x,y)dx=. f -^ f ,
•^BMAB ^BMA '-^AB
ce qui démontre le théorème ; car, dans les deux seconds membres, y ei X ont les mêmes valeurs sur les arcs AB et BMA, ainsi que la
Fig. 35.
|
J/ |
/-\N |
|
|
■>{ |
J- |
|
|
0 |
je |
fonction f{x^ y)^ puisque celle-ci est une fonction bien déter- minée de X et y. Si le sens de circulation change ^ur le contour, Tinlégrale change évidemment de signe (n® 59).
6â. Intégrale de surface. — Soit une portion limitée, Û, d'une surface, 5=(p(^, ^), la fonction ç(j:,^) étant supposée déter- minée et continue dans la région, C, du plan des xy où se pro- jettent les points de û; désignons par f{x^ y, z) une fonction déterminée et continue de x^y, z : il est clair que f\x^y^ ?(^î^)] sera une fonction déterminée et continue de J?, y^ dans la région G.
Cela posé, décomposons la surface Û en éléments d'aire, A(i)4, A<ï)2, . .., AcOrt, . . .; désignons par $,,, tj;,, Ç;, les coordonnées d'un point quelconque de la surface compris dans Taire Aco,^, et considérons la somme
étendue à tous les éléments d'aire : je dis qu'elle tend vers une limite finie et déterminée quand les dimensions de ces éléments tendent vers zéro dans tous les sens.
On a en effet rigoureusement, en désignant par Ao-^ l'aire de la région du plan des xy où se projettent les points de l'aire Aco/i (nM3):
70 PREMIERE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
p et q désignant j^ ^^ j^' On déduit, par le théorème de la moyenne (ia*7),
^«> yn désignant les coordonnées d'un point de l'aire Aa-„, et la somme (3) considérée s'écrit
elle est maintenant étendue à tous les éléments At^ de l'aire C, dans le plan des xy; Ç,,, T\n et x„, y„ sont les coordonnées de deux points appartenant à l'élément At„. On en conclut sans dif- ficulté, comme au n® 7, que cette somme a pour limite l'intégrale double
(4) f f/i^.y^ ^U^,r)Wi-^p--^q''dxdy,
ce qui établit la proposition.
On a supposé que la portion de surface Û n'est coupée qu'en un point par toute parallèle à O^ ayant son pied dans la région C : s'il en est autrement on divisera Û en parties jouissant de cette propriété, et l'intégrale pour Û sera la somme des intégrales pour les parties composantes.
La limite de la somme (3) se nomme intégrale de surface et se représente par le symbole
-'U
z étant supposé remplacé par sa valeur en x, y déduite de l'équa- tion de la surface considérée.
On la calculera à Taide de son expression (4)} ou d'expressions analogues en coordonnées curvilignes, que l'on obtiendrait de la même manière. D'ailleurs dans (4), la quantité y/i 4-/?*4-y^ esl égale à |cosy|, jcosyj désignant la valeur absolue du cosinus de l'angle y que fait, avec O^, la normale au point x^y^ z de la sur- face û; on a donc
J Ja J Je I "="*ï I
CHAPITRE II. — INTEGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES.
7'
II. - FORMULES DIVERSES.
63. On va établir mainlenanl quelques formules, relatives à des transformations d'intégrales de lignes et de surfaces, et qui ont une grande importance en Analyse ou en Physique; ce sont la formule de Riemann, celles d'Ostrogradsky et de Slokes.
64. Formule de Riemann. — Soient M(x^ y) et N(a:, y) deux fondions de deux variables indépendantes x,y] considérons Tin- tégprale double
prise à rintérieur d'une aire G, dans laquelle on suppose "3— ^t t- bien déterminées et continues.
On a d'abord, en calculant l'intégrale double comme d'ordinaire,
L'intégrale simple à laquelle se ramène ainsi l'intégrale double
Fig. 36.
>jô
0 'a?o JB
considérée est la somme de deux intégrales curvilignes (n® 59), â savoir {Jig- 36)
— / }A(x,y)cLt et -h / ^\{x, y)dx\
7-2 or.
et par suile
PREMIERE PARTIE. -- COMPLEMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
-f -f -
— If -T— dx dy — I M{x, y) dx.
BQAPB
L'intégrale du second membre est une intégrale curviligne, prise le long du contour y, qui limite le champ C, ce contour étant décrit dans le sens positif. De même
= r '^^[N(^„7)-N(:r„^)]= fî^{x,y)dy,
le contour y étant encore décrit dans le sens positif.
On obtient ainsi h formule de Riemann {ou de Green) :
qui transforme une intégrale curviligne en intégrale double, et inversement.
65. On a implicitement admis, dans la démonstration, que le
ï'ig. 37.
contour y n'est coupé qu'en deux points, au plus, par toute parallèle aux axes Ox et Oy. Dans le cas d'une courbe, comme celle de la figure ci-dessus {Jig. 87), coupée en plus de deux points par des parallèles à Oy, on divise le champ C en champs partiels C(, €3, ... jouissant de la propriété énoncée. Ici, il suffît de tracer la droite AB qui joint les points de contact de deux
CHAPITRE II. — INTÉGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES. 73
tangentes parallèles à Ojk? et l'on a, par ce qui précède,
m-
^^^ • ^^)dxdf= f (Mâx-h^dy),
d'où, en ajoutant,
//- f -f-
^ ^c *'apba-»-abqa «^y
caries intégrales / el / se détruisent (n'^SO). La formule est
•^'ba -'ab donc vraie pour un contour quelconque.
Corollaire I. — On déduira plus lard, de la formule de Riemann, le théorème fondamental de Cauchy sur les intégrales des fonctions d'une variable imaginaire; deux autres corollaires, que Ton va exposer, ont une grande importance en Physique.
Si. pour les valeurs de x^y comprises dans une région ^ du plan, l'expression ^\dx -\-^dy est une différentielle exacte, on
sait que l'on a — = — , et réciproquement (Tome I, n** 327).
En ce cas Fintégrale
esi nulle quel que soit le champ C dans la région A] et, d'après la formule de Riemann, il en est de même de l'intégrale
/ (M dx -f- N dy) quel que soit le contour y dans Jl. Inversement, si / est nul dans S\. quel que soit y^ I f l'est
t/y «/ Je
également d'après la formule de Riemann : je dis que dès lors la
quantité — -r h -5- est nulle en tout point x^ y, de A. Car si
elle ne l'était pas, on pourrait tracer autour de ce point un contour fermé, C, à l'intérieur duquel la quantité considérée garderait un
signe constant, et l'intégrale / / ne serait pas nulle, contraire- ment à ce qui précède. Donc :
SiVintégrale 1 (Mdx-i-Ndy) est nulle le long d'un con-
74 PREUIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
tour fermé quelconque, dans une certaine région du plan, l'expression ^dx-^lUdy est, dans cette région, une différen- tielle exacte.
Corollaire II. — La proposilion s'élend au cas de trois variables.
Supposons que Tinlégrale / (M rfx-i-N û(^-|-Prf^) où M, N, P
sont des fonctions de x^ y^ z^ soit nulle le long d'un contour, gauche ou plan quelconque de l*espace : elle sera nulle en parti- culier le long de tout contour, y, tracé dans le plan z = Zq] comme elle se réduit alors à
/ M(^,JS Zo)dx-hN(Tyy, Zç,)dy,
on aura, d'après le corollaire précédent,
dM(x,y,Zo) ^ àN(x,y,Zo) dy Ov
ou, puisque Zq est arbitraire,
ôJA _d^
dy ~~ ôjc
identiquement, c'est-à-dire quels que soient x^ y^ z. De même
ôz dx
^ _ ^
àz - dy '
identiquement (quels que soient ^r, )^, s), ce qui établit (Tomel, n« 328) que M dx -hîi dy -i-V dz est une différentielle exacte.
66. Remarque. — Il importe de préciser les conditions dans lesquelles la formule de Riemann est rigoureusement établie. On a supposé essentiellement que l'intégrale double a un sens,
c'est-à-dire que ^ et — sont des fonctions bien déterminées et
continues dex ety^ à l'intérieur et sur le contour de l'aire C;
on a également admis que les intégrales Tm dx et Tn dy ont un
CHAPITRE II. — INTEGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES. 75
seos, c'esl-à-dire que les foDclions M et N sont déterminées et continues sur le contour.
En particulier, la formule est applicable si toutes les fonc- tions M, N, — » -T-y des variables indépendantes xeiy^ sont bien
déterminées et continues à V intérieur et sur le contour de traire,
67. Application. — Soit C une aire limitée par un contour y quelconque, sans point multiple. On a, en faisant, dans la formule de Riemann, M = — y^ N = o :
/ j dxdy = — I ydx.
Le premier membre est l'aire de la portion G du plan; on peut donc dire que l'aire, Jl>, intérieure à un contour y, sans point
multiple, est donnée par l'intégrale curviligne — 1 ydx, le
contour y étant décrit dans le sens positif, ou à l ydx^ le
contour étant décrit dans le sens négatif.
On peut faire reposer sur cette remarque une démonstration, très simple, de la règle du changement de variables sous le
signe//.
Soit
\^-JJnx,y)dr^
l'intégrale double proposée; on pose
(6) a: = o(a, p), y = ^{u,v).
Lorsque le point x, y reste dans le champ C, le point de coor- données rectangulaires w, v reste à l'intérieur d'un champ C : on suppose que la correspondance entre les points des deux champs est univoque, c'est-à-dire qu'à un point u, v de C correspond un seul point x, ^, de C; et réciproquement.
D'après cela, à une aire quelconque Ao-, intérieure à C, répond, à l'intérieur de C, une aire Aa-'; or il y a, entre Aa et Ao^, une relation remarquable.
76 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
On a en effet, d'après ce qui précède,
-l
Y étant le contour de l'aire Aa-, décrit dans un sens tel que le second membre soit positif. En faisant dans cette intégrale curvi- ligne simple le changement de variables (6), on trouve
A7
=jri(«..)(.s^«-,^..).
y' étant le contour de l'aire Ao^, puisque évidemment, lorsque le point x^y décrit y, le point i/,, p décrit y'.
Appliquons au second membre la formule de Riemanu, en faisant
^ Ou ^ dv
il vient
On a mis ± parce qu'on ne sait pas dans quel sens le point u, «.* décrit y' quand x^y décrit y dans le sens considéré; il faut choisir le signe de façon que Ao- soit positif. Or, si l'on pose
'^ ' ^ du di^ du dv
(jacobien de ©, »} par rapport à w, v)^ on peut écrire, en vertu du théorème de la moyenne.
en désignant par u', v' un point de l'aire Aa^ ou de son contour^
et en se souvenant que le signe doit être choisi de manière que -X-y
soit positif. Cela posé, soit x'j y le point de l'aire A^ qui répond
au point w', r'; on a, pour I, d'après la définition même de Tinlê-
grale double,
I = liin2/(a'',y)Aff,
c'est-à-dire en remplaçante:',^' par y(a', s^')j ^("S ^')j ^^ ^^ p^r
CHAPITRE II. — INTÉGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES. 77
sa valeur ci-dessus,
I = lim2/[(ï>(a', p'), ^{u\ v')]l<j'modJ{u\ p'),
dW, en passant à la limite, et puisque la somme s'étend à tons les éléments At' du champ C,
1 = / / /[?(w, ^), ^{Uy V )]mod J (u, v) du dv ,
C'est la formule connue du changement de variables.
68. Formule d'Ostrogradsky. — Soit {^fig* 38) V un volume, limité par une surface fermée û, que Ton supposera rencontrée en
deux points, au plus, par toute parallèle à O^; désignons par R(x, j, 3)une fonction, continue ainsi que sa dérivée partielle — > àrinlérieur et sur la surface du volume V. L'intégrale triple
'-//XS**-"
se Iransforme aisément. Calculons-la en commençant par Tinté- gralion en ;; ; on a, en désignant par C la région du plan des xy où se projettent les poinfs du volume V, par z^ et z^ les cotes des points de la surface û qui répondent à x et j^ (^fig' 38),
U)
-Si
dxdy\V^{x, y, -2 j — R (^, 7> -^i )]•
Soityrangle, compris entre o et ii, que fait avec l'axe 0;5, dirigé de 0 vers ^, la normale à û en un point, x^y^z\ cette normale, N, élant dirigée vers Texlérieur du volume V : y est aigu au point :?2,
78 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
car la parallèle à O2, issue de Z2^ sort du volume V ea ce point; de même y est obtus au point 5|.
Si, maintenant, on désigne parus et û| les portions de la sur- face Q qui sont respectivement au-dessus et au-dessous de la courbe de contact des plans tangents parallèles à Oz, on a, d'après la formule (5) du n° 62,
= J j R(^, r» ^t) ^^ ^7i
car on a, sur Û2,
cosY = |cosy|,
puisque y est aigu. De même, puisque l'on a sur ûf,
COSY = ~~ |cosy|, il viendra
/ I R(x,yyZi)cos-(d(si=— j I R{x, f, Zi) dx dy.
Ajoutons ces deux égalités membre à membre, nous trouvons, puisque/^ +/^=/^,
(a) / j dxdy[R{x,jr,Zi)—ï{(x,y,Zi)] = J j R{x, y, z)cosy dui.
En portant cette valeur dans (i), on arrive à la formule finale :
(3) I = JJ J —dxdydz = JjR{x,y,z)co%^d^,
Y étant Tangle, compris entre o et tz, que feiit, avec Os, la normale en Xy y^ s, à la surface Q, dirigée vers l'extérieur du volume V. De même, en désignant par P et Q deux autres fonctions con- tinues de x^ y^ z, et par a, ^ les angles que fait, avec O j: et 0^>', la normale en un point de û, toujours dirigée vers l'extérieur de V, on trouverait
(4) Jjl ;^^^r^^ = / rP(^»^''5)cosarfu),
CHAPITRE 11. — INTEGRALES DE LIGNES ET DE Sl'RFACES. 79
d*où, par additioD, f I f (j" "*" ^"'" J^)^^^^~ / / (Pcosa-+-Qcos3H-RcosY)û?(«>.
C'est la formule d'Ostrogradsky (ou de Green), qui transforme une intégrale de volume en une intégrale de surface, et inverse- ment.
Si la surface û est rencontrée en plus de deux points par des parallèles aux axes, il est aisé d^établir que la formule subsiste, en employant la méthode indiquée à propos de la formule de Rie- mann (n'^eS).
69. Formule de Stokes. — Elle transforme Tune dans Tautre une intégrale de surface et une intégrale curviligne.
Soit iù une portion de surface, limitée par une ligne fermée X. Nous admettrons que o) a deux faces distinctes, que nous appel- lerons Ci)' et iû", de telle sorte qu'on ne puisse passer d'une face à Fautre, en cheminant sur la surface, qu'en traversant le contour X. Nous appellerons direction de la normale à une face celle d'un rayon lumineux, réfléchi normalement par cette face supposée polie : les normales N' et N'' aux deux faces w' et co", en un même point, ont ainsi des directions opposées.
Nous aurons également besoin de définir le sens d'un mouve- nnent sur l'une ou l'autre face de (o. A cet effet, imaginons un observateur debout sur la face o)', par exemple, la tète sur la nor- male à cette face, placé près du contour X et regardant ce con- tour : on dira qu'un mobile décrit le contour \ dans le sens positif, sur la face o)', si l'observateur le voit passer devant lui de droite à gauche. Sur la face co", le même mouvement aurait d'après cela le sens négatif.
70. Admettons, pour commencer {fig» 89), que la surface (o ne soit rencontrée qu'en un point, au plus, par toute parallèle à Oz\ elle se projette dès lors dans l'aire ^i, que limite, sur le plan des xy^ la projection \ du contour X. Considérons une face de o), la face w', par exemple, dont une normale N' fait avec 0-8 un angle aigu : en chaque point de o)', la normale fera encore arec Oz un angle aigu, car la surface <o n'ayant pas, par hypo- tiièse, de plan tangent parallèle à Oz, l'angle considéré ne peut
8o PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
devenir droit et, comme il varie d'une manière continue, il reste aigu.
Si M est une fonction de x^ y, on a, d'après la formule de Rie- mann, dans le pian des xy,
■JJJ^''-<'y = l^'^-^y)'^,
le contour Xi étant décrit dans le sens positif sur la face supé- rieure du plan des xy^ en raison de la disposition des axes de coordonnées.
Fig. 39.
N'
X z=r
(C::)
Supposons que M soit une fonction continue U, de x^ y^ -3, el que z soit lui-même une fonction de x^ y^ définie par l'équation de
la surface co ; on devra remplacer -r- par - — |- -p t- » et l on aura :
Or I U dx est la même chose que / U dx^ car x, y et dx
sont les mêmes sur Xi et X; le contour X, dans cette nouvelle inté- grale curviligne, est décrit, sur la face a>', dans le sens positif.
D'ailleurs, en désignant par y l'angle aigu que fait, avec Oz^ la normale à la face (o' au point x^y^ 5, on a, d'après la formule (5)
du n** 62, F représentant, pour abréger, y: + -;p "s- '
(7)
1 / / F(r,7, ^)cosYc^w = / / F(r, r, x?)cosY
dx dy
IcosYJ
(
= J f F(x,y,z)dxdf,
puisque cosy = |cosy|
CHAPITRE II. — INTÉGRALES DE LIGNES ET DE SURFACES. 8l
Remplaçons F par sa valeur; nous obtenons dans (6), en vertu Je (7).
Enfin la normale à tù' ayant ses cosinus directeurs, cosa, cos^, ces Y, proportionnels à t-* j^ et — i, on a
cosa cosB „ . àz cosû
-— — = -—-£- = — cos Y, dou 3-= -;
ds dz ' dy cosy
dx dy
ce qui donne, dans (8),
— fj y-^j cosï - ^ cos 3 j ^0) = y* U {X, y, z) dx.
On aurait de même, en désignant par V et W des fonctions continues de x, y^ 2,
" JJ. \à^ ^^*^ ■" "57 ^°^ ajdoi = J W(x, y, z)dz, et, en ajoutant,
l/.(;.H(f-s)
. V ) q/«^U d\\\ /f)\ 0V\-] ^
(9) j -^'^'^[^ - Tïrj ^^^^H5ï - :ô^)\ ^^
r = nVdx-^Wdy-^Wdz),
le contour à étant, dans Tintégrale curviligne, décrit dans le sens positif.
C'est lajormule de Stokes. Elle s'applique, sans modification, à Ja face co'', car, pour cette face, cosa, cosp, cosy changent de signe, et le sens du mouvement sur la courbe X doit également cbang^er pour être positif sur w".
71. Si la surface w est coupée en plus d'un point par une H- - II. 6
82 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
parallèle à Oz^ on la décomposera en surfaces w,, too, . . . rencon- trées en un seul point, au plus. Ainsi, dans le cas de la figure ci-dessous (Jig. 4o)j on mènera la courbe (L) de contact des plans tangents parallèles à Oz^ et les lignes AB, A'B' joignant deux points de (L) à deux points de X.
Fig. 4o.
La surface a> est ainsi divisée en trois parties :
1** La partie située au-dessus de (L);
2° La partie dont le contour est ABPB'A'QA;
3^* La partie dont le contour est ARA'B'SBA.
Si l'on écrit la formule (9) pour chacune de ces parties et si l'on ajoute, les intégrales curvilignes suivant les lignes (L), AB et A'B' disparaissent, cliacune d'elles figurant deux fois avec des signes contraires, et il reste la formule (9), appliquée à l'une des faces de a> et au contour )..
La formule de Stokes est donc générale.
CHAPITRE III. — APPLICATIONS DIVERSES. 83
CHAPITRE III.
APPLICATIONS DIVERSES.
I. - INTÉGRATION SOUS LE SIGNE f>
72. Règle. — Considérons Tintégrale
dépendant d^un paramètre a, et dont les limites a et 6 sont indé- pendantes de a.
Proposons-nous de l'intégrer par rapport à a, entre deux limites constantes ai et aa ; c'est le problème inverse de celui de la déri- vation traité dans le Tome I.
L'intégrale cherchée a pour symbole
D'après la règle de calcul des intégrales doubles, ce n'est
autre chose que l'intégrale / / /{x, a) dx doL^ les variables de
sommation étant x et a, prise dans le rectangle qui a pour côtés les droites
on peut donc intervertir l'ordre des intégrations (n® 15), à condi- tion que la fonction /{Xj a) soit continue dans le rectangle, sup- posé iui-même fini; on a ainsi
f doL I /{x,OL)dx= I dx 1 /(XfOi)da.
C'esl la formule d'intégration sous le signe / , tout à fait sem- blable à celle de dérivation : au lieu de remplacer, sous le
84
PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
, la fonction f{Xj a) par sa dérivëe en a, on la remplace par son intégrale en a, entre les limites ai et 7.2,
73. Si les limites a et 6 dépendent de a, la formule ci-dessus n'est plus exacte.
On peut ramener ce cas au précédent par un changement de variable. Dans l'intégrale
j f{x,%)dx,
posons
X =^ a -h (b — a)v, d'où
dx = {h — a)dy\
rintégrale devient
f (à-^a)/\a^(b-a)y,a]dy,
où les limites sont constantes. La formule du numéro précédent est alors applicable.
74. Autre méthode. — Soient
a = ç(a), 6 = e(a) (a<b)
les limites, variables avec a, de Tintégrale considérée; il s'agit de
Fig. 4i.
JC^ffiCt,
^»6(oO
calculer ou de transformer l'expression
(0
f dal f{x,0L)dx\.
a, . L*-?(«) J
CHAPITRE III. — APPLICATIONS DIVERSES. 85
C'est là une intégrale double prise dans un champ facile à déter- miner.
Traçons en effet {^fig- 40> ^*°s '® P^^*^ ^^^ ^*» ^^* courbes a: = (p(a), jj = 0(a); l'expression (i) n'est autre chose, d'après sa forme même, que l'intégrale double'
//
prise dans le champ (ombré), limité par les courbes précédentes et les deux parallèles à Ox, d'ordonnées ai et %^ : car, pour calculer cette intégrale en commençant par ^intégration en x^ la règle générale conduit précisément à écrire l'expression (i). Donc enfin, C étant le champ ombré, on a
f dfx / /(x,a)dx= / / /(x,%)dxdoL,
l'intégrale du second membre pouvant ensuite être calculée par une méthode quelconque.
H. - CALCUL D'INTÉGRALES DÉFINIES.
75. Les règles d'intégration et de dérivation sous le signe /
permettent d'obtenir la valeur de quelques intégrales définies, dont le calcul direct est impossible.
76. Calcul de l'intégrale / e-^*dx. — La fonction primitive
de e^^* ne s'exprimant pas à l'aide des fonctions élémentaires, on ne peut évaluer directement cette intégrale importante, qui se rencontre dans diverses questions d'Analyse et de Physique mathé- matique. On trouvera sa valeur en faisant usage de la règle d'inté- gration sous le signe /. Dans l'intégrale
J= f* e"*dx,
86 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
posons X = ty^ a étant une constante positive, on a
Multiplions les deux membres par e~*', et intégrons, par rap- port à a, entre o et oo : J étant une constante absolue (indépen- dante de a), l'intégrale du premier membre sera
/e- ** doL J c'est-à-dire J * ;
l'intégrale du second membre sera
f e-^'dz f e-^^'y-ddy,
OU, en intervertissant l'ordre des intégrations (*), f dy f e-a'<'-^.>')a£/a.
Or l'intégrale en a se calcule de suite; on a ainsi J« = / df\ = - / — =^ = - (Arc tan
^y)t
^0
Donc
(l) ^ == f ^--^"dx= i/TT.
77. De la formule (i) on peut déduire une infinité d'autres par la règle de dérivation. Il suffît en effet de faire un changement de variable, de manière à introduire un paramètre a, et de dériver les deux membres en a : c'est là un procédé général, applicable à toutes les intégrales définies dont on connaît la valeur. Posons, par exemple, dans (i),
a étant positif; nous obtenons la formule :
f e-^y'-dy = 7/71 a «; 0 ^
dérivons maintenant les deux membres par rapport à a.
(^) Le champ d'inlégralion élant inHiii, cette interversion n'est pas nécessaire- ment légitime; on admettra qu'on a le droit de la faire.
CHAPITRE III. — APPLICATIONS DIVERSES. 87
Je dis qu'on peut appliquer en toute sécurité la règle de
dérivation sous le signe /, bien que la limite supérieure soit
infinie. En effet, la fonction e"*^' satisfait aux deux conditions du n® 323 du Tome 1, à savoir : i^ cette fonction, f{y, a), et sa dérivée /"^ sont des fonctions continues de la variable a, lorsque a reste positif, et cela quelle que soil la valeur attribuée à }' entre o et -f-oc; 2® /a» est finie et déterminée pour a çt j^^o. Reste donc seulement la difficulté provenant de la limite supérieure infinie. Or, d'après le n° 3âo du Tome I, on pourra appliquer la règle de dérivation si l'intégrale
/ /a'(7» a-^^^)^r> c*est-à-dire j y^e-y^^^-^^^'^'dyy
a une valeur finie. On peut Fécrire
dy
et comme la fonction ^{y)^ c'est-à-dire j'^c"^''^'*"^^'", tend vers zéro pour^ infini (car, a étant > o, a + 6/t est > o pour h assez petit), l'intégrale est finie (Tome 1, n'^SQS).
Donc enfin la règle de Leibniz s'a[)pliquc et la dérivation par rapport à a des deux membres de (a) donne :
puis, par une série de dérivations successives,
78- Intégrrale de Fourier. — Considérons l'intégrale I" / e~^* cosidx dxy
où a désigne une constante. Dérivons par rapport au paramètre a; on verra comme au numéro précédent que la règle de Leibniz est applicable. Donc
-.- = / —ixe-^s\ïiiaLxdx,
88 PREMIÈRE PARTIB. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
Or — ^xe"'^ est la dérivée de ^~''; on a donc, en intégrant par parties,
d\
^0
s ='-"
(«-■»' sinaao:)* — aa / c^* cosi^xdx^
c'est-à-dire, puisque la quantité tout intégrée s'annule aux deux
limites,
d\
, = — 2al.
On en conclut, en séparant les variables I et a, et, en intégrant,
-r — — ^* "*î
logl = — a«H-logC; ou
On détermine la constante C en faisant a = o; I se réduit alors à / e'^'rfj:, c'est-à-dire -y/'re (n° 76), et l'on en conclut finale-
^0
ment la formule
III. - PROBLÈME D'ABEL.
79. Problème. — Trouver la courbe suivant laquelle il faut laisser tomber un point matériel pesant pour quHl parvienne en un point O {origine des coordonnées) au bout d\in temps qui soit une fonction donnée^ F(^)î ^^ '^ hauteur de chute A.
Prenons pour axes O^ et Ox la verticale et l'horizontale du point O : en un point de la courbe, de hauteur z {fig* 4^)? le mo- bile est animé d'une vitesse égale à celle qu'il aurait s'il était tombé verticalement de la hauleur h — z, c'est-à-dire ^2g{h — z).
CHAPITRE III. — APPLICATIONS DIVERSES. 89
Soit s^=/{z) l'arc de la courbe, compté à partir de O; on
aara d'après cela
ds
--gi=)/^g{h^z),
ou
di^-
f'iz)
.dz.
Le temps de chute, de A en O, sera
Fig. 43.
L'équation du problème est donc
(1)
dh
-.y !^ étant une
l'inconnue étant la fonction /(z) (*). Voici l'ingénieuse solution d'Abel. Multiplions les deux membres de (i) par
constante, et intégrons par rapport à A, entre les limites o et !^. Il vient
Loin de compliquer l'équation (i), comme il peut le paraître, celte nouvelle relation donne la solution immédiate du problème.
(') Ce problème est un cas particulier du suivant : Trouver une fonction f{x, a), assujettie ou non à certaines conditions de forme, telle que Vinté-
grale f /{x, ol) dx soit égale à une fonction donnée de a. Les limites
a et h peuvent être des constantes ou des fonctions de a. C'est le problème inverse de celui du calcul des intégrales définies; il n*a reçu aucune solution dans le cas général.
90
PREMIERE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
Le second membre de (2), en effet, est, par rapport aux variables de sommation h et 5, égal à l'intégrale double
J J J'IS si
^)
prise, dans le plan de ces variables, à l'intérieur d'un champ que l'on détermine aisément (voir n" 74) : la forme (2) de l'intégrale montre que, h étant fixe, les limites de z sont o et h; les valeurs extrêmes de h sont ensuite o et Ç. Le champ est donc le triangle formé par Taxe OA, la bissectrice 5 = A, et la parallèle à O^ d'abscisse ÎJ (région ombrée) (*) {/ig- 43).
Fis. /,3.
Calculons maintenant l'intégrale double I en commençant par l'intégration en h : les limites de h sont alors z et Ç, les valeurs extrêmes de z étant ensuite o et v. Donc, le second membre de (2) peut s'écrire
(2 bis)
Dans l'intégration par rapj)ort à A, z est regardé comme con- stant, d'après la règle de calcul des intégrales doubles; par suite
Js \/h — ^ v^ï — f^ *^z s/Il — z ^X^ — /i
(') La fonction qui, dans l'expression de I, figure sous le signe 1 f ^ ^ savoii
/'(^)
r> devient infinie sur les droites z — h cl h ~ ^^ qui sont deux V'( ; — /o t A - ;; j des côtés du triangle champ. Mais, comme les exposants de ^ — h et h — s
au dénominateur sont égaux à -> c'est-à-dire inférieurs à i, Tintégrale l est néanmoins finie et déterminée dans le champ ombré (n** 54).
CiUIMTRE III. — APPLICATIONS DIVERSES. Ql
L'intégrale qui figure au second membre de celte dernière rela- tion se calcule aisément : elle est égale à tt (^). Elle est donc, et c^esl là le point fondamental, indépendante de z; et il reste, pour la valeur de (2 bis),
I r^
— . / T./\z)dz, c'est-à-dire -_-. f/(Ç)-/(o)].
Ory(o) est nul, Tare /(s) étant compté à partir de Torigine; donc enfin, remplaçant par celte valeur de (:< bis) le second membre de (2), on a l'équation
ce qui, la fonction F étant connue, donne l'expression clierchée de la fonction inconnue y*(Ç), sous forme d'une intégrale définie, dépendant du paramètre Ç.
Connaissant ainsi /(5), c'est-à-dire l'expression de l'arc 5 de la courbe en fonction de l'ordonnée .3, on écrira, pour trouver l'équation de cette courbe en x et ;;,
ds = fJ7ix-*'-\-dz'- =/'{z) dz ;
d'où, en élevant au carré et séparant les variables x et 5,
dzs//"'C^J^=^^ et, en intégrant,
(4) X = I \//'*{ z ) — i dz -h consl.
On déterminera la constante de manière que 5 soit nul pour jc==o, et l'on aura ainsi, par (4), l'équation cartésienne de la courbe cherchée.
(*) Le plus simple est de faire dans l'intégrale / _ .nr- -^^»oÙ5etC
soot des constantes, le changemenl de variable
h = z -i-{^ — z) sin'w, dh = '2{^ — ^) sino) cosw c/o), ce qui donne pour Tintcgrale cherchée
/*' (Ç — 5) sinwcosw , /** ,
2 / — t=r û?o) = 2 / c/o) — r.
•yo V (^ — ■=) sii»^w(^ — i) cos-u) Jq
92 PREMIÈRE PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
80. Courbe tautochrone. — Comme application, cherchons la courbe (dite tautochrone) pour laquelle le temps de chute est indépendant de la hauteur de chute A; il faut faire
F(A)=^, ce qui donne, dans (3),
Donc Tare 5, ou /{z)^ est proportionnel à la racine carrée de l'ordonnée z\ posons pour simplifier ^ =\/8az, il vient
et l'équation cartésienne (4) de la courbe s'écrit
x= I i/ û?3-+-const.
L'intégrale indéfinie au second membre s'obtiendrait, selon la
méthode générale, par le changement de variable = u^; il
sera plus simple d'opérer autrement. Posons
z = a(i — cosf), dz = as'intdty il vient
X == a I 1 / -j sm tdt-\- const.
J y a(i — cos/)
= a I (i -h cos/)rf/ -f- consl.= a(/ H- sinf)H- const.
La constante est nulle, car pour -3 = 0, c'est-à-dire t = o^x doit être nul.
Les équations paramétriques de la courbe sont donc
z = a{ I — cos/).
C'est une cycloïde, symétrique par rapport à Ox de la déve- loppée de la cycloïde étudiée au n** 382 du Tome I.
CHAPITRE IV. — FONCTIONS KLLÉRIENNBS. gS
CHAPITRE IV.
FONCTIONS EULÉRIENNES.
I - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES.
81. Les fonctions eulériennes sont un exemple intéressant de fonctions représentées par des intégrales définies; elles jouent un rôle assez important en Analyse et en Physique.
On nomme fonction eulérienne de seconde espèce, et l'on désigne par r(a), la fonction de a
(i) r(a) = / e-xx'^-^dx.
L'intégrale n'a une valeur finie et déterminée (Tome I, n** 308) que si a est positif; elle définit donc, dans ce cas, une fonction de a, laquelle est toujours positive, puisque tous les éléments de Tintégrale sont positifs.
Pour a nul, r(a) est infini.
82. Théorème. — On a
r(a-M) = ar(a).
En efi'et, l'intégration par parties donne :
r(a-M)= Ç x'^ e-' dx = {-- er^ x^)1 -^ d f e^^x^-^ dx.
Le terme tout intégré s'annule aux deux limites (puisque a est posilif)et le dernier terme est a r (a). c. q. f. d.
83. Corollaire. — Si a est entier, on a
r(a -+- i) = 1.2.3. . .a.
94 PREMIERE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTEGUAL.
En effet
r(a H-i) = ar(a) = a(a — I) r(a— -i) =.. .= a(a — i). . .2. i .r(i).
Mais
•» ce
r(i)= / e-^ dx = (—e-^)'^ = 1, • 0
ce qui établit le Corollaire.
L'importance de la fonction F vient de cette relation avec les factorielles.
Le théorème du n® 82 permet de calculer r(a), pour une valeur quelconque de a, lorsqu'on connaît la fonction pour toutes les valeurs de a comprises entre o et i; nous verrons plus bas qu'il suffît même de connaître F (a) pour les valeurs comprises
entre o et -•
84. Produit de deux fonctions r. — On a
r(a)r(p)= f e-^x^-^dx f e-yy'^-Uly,
ce qu'on peut écrire, sous forme d'intégrale double,
(2) r(a)r(p)= r Ce-^^^y^x^-^y^-^dxdy,
le champ étant l'angle positif des axes, considéré comme la limite
d'un rectangle dont deux côtés sont Ox et Oy, et dont les deux
autres s'éloignent à l'infini : ce champ est défini par 0:^0, y^o.
Faisons, dans l'intégrale double (2), le changement de variables
x^uÇy y = u{i — v);
le jacobien ^\^^ est p(— u) — w(i — ^;) rrz— u; quant au nou- veau champ en m, t^, il est défini par
MP^O, W(| — P)^0,
d'où l'on tire, en ajoutant membre à membre, et, par suite.
CHAPITRE IV. — - FONCTIONS ËL'LÉRIENNKS. 9J
Le champ C en u, c est donc fa région ombrée (Jiff- 44) limitée par l'axe des p (a = o), l'axe des u (^= o), et la parallèle à O^^, t-' = I .
On a alors, en remplaçant dans l'intégrale double (2), x par la^,
y par u (1 — i^), et dx dy par diidv mod ;t.-— -> c'est-à-dire par Il du dv^ puisque, dans le champ C, u est positif,
r(a) r(?) = f f e-» a«-»-?-if«-»(i — v)^-^ du dw
ce qui s'écrit, d'après la règle de calcul d'une intégrale double,
r(a)rO)= r ç^-\(i-^ç)?-idvx r e-'^u^^^-i du.
Au second membre, la seconde intégrale estr(aH- P); la pre- mière est une intégrale nouvelle, fonction de a et de (3, que l'on
désigne par le symbole B(a, P), et que l'on nomme intégrale eu lé rie une de première espèce. Donc, enfin.
r(a)r(p) = r(aH-?)B(a,?);
B(a, 3)= f ar3t-i(i — a7)?-»t/x, «/o
X et ^ désignant deux quantités positives quelconques.
(3) (4)
80. Autres formes de B(a, p). — i** La formule (3) montre que B(a, ^) = B(|3, a), ce qu'on vérifierait directement en] posant, dans l'équation (4), x=:\ — y. Ainsi :
(4') B(a, ?)= f x?-^{^\'-x)-^'^dx.
do
96 PBEMIÈRE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
2® Posons, dans l'intégrale (4), ^ = sin^w; il vient
sin*«-> w cos*P-> (0 rfti).
(4') B(a,P) = 2 fi
i"^ Posons enfin, dans (4),
on trouve
(D B(a,6)= r" — ^ „ dy.
Si, dans cette formule, on suppose a + ^ = i , il vient
on a par suite, d'après (3), en se rappelant que r(i) = i ,
Nous verrons plus tard que l'intégrale qui figure au second membre est éffale à -t—q— ; on aura donc
(5) r(p)r(i-p)=
ir
sin^i:
formule qui permet de calculer r(a) pour les valeurs delà variable
comprises entre - et i, quand on l'aura calculée pour les valeurs
comprises entre o et -• Cette formule suppose naturellement
o < jî < I , puisque r(a) n'a été défini que pour des valeurs posi- tives de a.
86. Valeur de r(iV — Si, dans (4"), on fait a = p = 1, il
vient
D'ailleurs, par (3),
r(i)r(l) = r,,B(I.I).
CHAPITRE IV. — FONCTIONS EULÉRIENNES. 97
Comme r(i) = i (n® 4i), on a
[r(l)]'=,, d-oa r(i) = /..
On peut encore faire ce calcul comme il suit. Dans l'ëquation
r(a)= j e-^x'^-^djr * 0 posons X =y-; il vient
d'où (n» 76)
Tables. — Il existe des Tables donnant les valeurs de F (a); ces Tables permettent aussi, d'après (3), de calculer B(a, |3).
87. Valeur approcliée de r(/i) pour n très grand. — La relation de r(/i) avec les factorielles montre que, pour des valeurs entières de /i, r(/ï) croît avec n et croît même très rapidement. Legendre a d'ailleurs prouvé que r(j:), qui est inGni pour ^=o, com- mence par décroître, passe par nn minimum pour une valeur de x comprise entre i et 2, et croît ensuite indéfiniment avec x.
Il y a intérêt, dans diverses questions, à connaître Tordre de
candeur, par rapport à n, de r(/i-hi), ou de la faclorielje
1 . 2 ... /2 ; voici la marche à suivre pour arriver au résultat désiré.
88. On a, par définition,
la fonction sous le signe / , e~-^x"f va de o à o quand a: va de o
â 00, si Ton suppose /i >> o; elle passe, comme on le voit, en pre- nant sa dérivée, (n — x)e~-^x"~*, par un et un seul mai^imum pour x = n; ce maximum est n"e~". Faisons alors, dans Tinlé- grale de définition (6), le changement de variable
(y) x'*e-^= /i«e-«c -'• (/ = nouvelle variable d'intégration).
Quand X va de o à n, puis de /i à 4- ûc, t'^ est réel et positif H. - II. 7
f)8 PREMIÈRK PARTIE. — COMPLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
et va (le -4-00 à o, puis de o à 4- oc; quant à r, on peut se donaer arbitrairement son signe, puisqu'il n'est assujelli qu'à véri- fier (7) : prenons alors t négatif pour x compris entre o et /i, et positif pour x compris entre /i et -h 00; / ira ainsi de — oc à H-oo. «
Calculons maintenant dx\ pour simplifier, posons
X = n -^ u
et cherchons du^ qui est égal à dx\ à cet eilel, prenons les loga- rithmes des deux membres de (7) :
(8) /ilog(/i -+- II) — n — Il — nlogn — n — /*.
On a, en diflTércntiant,
du(~ 1 ) =^itdt,
\ /n- w /
d'où
it{u -\-n^
du == dt.
u
Portons cette valeur, et la valeur (7) de ar^e"-^, dans r(/i -|- i)^ c'est-à-dire dans (6) :
(y) V{n-\-\) = 'in"e-'^ j e-'M / -h -- W//.
Le changement de variable n*est pas terminé, puisque // reste
sous le signe / : il faudrait le tirer de (8) en fonction de t^ ce <|ui
n'est pas possible explicitement; on se bornera dès lors à une approximation.
Remplaçons, dans (8), log(n4- u) par son développement de Maclaurin réduit aux deux premiers termes et au reste; il vient
[I « //« I "1 ,
et, après réductions,
11 faut prendre le signe -+- devant le radical, car : i® « et / sont de même signe, puisque a, ou x — n, est négatif, comme /,
CHAPITRE IV. — PONCTIONS EULERIENNES. 99
pour o <Zx <C «, et posilif, comme t, pour /i < x < » ; 2" /i -+- 0 // est toujours positif, puisque la plus petite valeur de u (ou a: — n) est — /i, et qu'on a o < 6 < i .
Tirons alors - de (10) en fonction de t et de la quantité
inconnue 0 (fonction de u et de n) :
A
^=i(v1-'«).
et portons-le dans l'expression (9) de T{n -f- 1); il vient
ce qui se décompose :
r(/i-î-i>=A/i«e-« 1/- I e-^^cit-h f c- '*/(! — 6) rfH.
Au second membre, la première intégrale est double de / e~'' rf/,
car e~'' est une fonction paire (Tome I, n® 263, 4")î elle est donc égale à v/îî (n° 37), et l'on a
r(«^.) = »/-I^(j)"(.-H^j),
CD posant
«> — »
expression où 9 désigne une fonction inconnue de t (puisque de z/), qu'on sait seulement rester comprise entre o et 1. Je dis que J est
compris entre et H
En effet, décomposons J en deux intégrales / -i- / î ^'^
seconde est positive, puisque tous ses éléments sont positifs, et Ton a
lOO PREMIERK; partie. — compléments du calcul INTEGRAL.
De même on verrait que Tinlégrale / , qui est négative puisque tous ses éléments sont négatifs, est, en valeur absolue, inférieure à -; donc J est bien compris enlre — - et H — > et peut
s'écrire J = - » avec — i < A" < i . Donc enfin
Dès que n est assez grand, le terme -— = est, en valeur absolue, très inférieur à i, el Ton a sensiblement
(12) r ( n H-i ) = y/'ji /i 7: ( - j .
C'est la formule approximative cherchée; elle donne l'ordre de grandeur, en n, du produit 1.2. 3.../?, quand /i grandit indéfini- ment.
89. Remarque. — Il importe d'observer que Verreur absolue de la formule (12) peut être considérable; car elle a pour ex- pression, d'après (11), /»'(-) 9 quantité qui peut devenir infinie avec n; mais Verreur relative, -t^^=^> sera toujours très petite et de module inférieur à ~- »
Une étude plus complète montrerait que le terme 1 déve-
loppé suivant les puissances croissantes de — > a pour expression
k ^ I
ce qui montre que l'erreur absolue grandit indéfiniment avec n.
CHAPITBE IV. — FONCTIONS EULERIENNES-
II. — APPLICATIONS DES FONCTIONS EULÉRIENNES.
90. Les fonctions F servent surtout à donner l'expression exacte ou approchée des factorielles et jouent à ce titre un rôle utile dans le Calcul des Probabilités (Théorème de BernoulH),
Ela Analyse, elles onl olTerl un exemple important de fonctions représenlées par des intégrales définies, et ont attiré l'attention d'Euler, Legendre, Gauss, Gauchy, Weierslrass, etc. qui en ont donné de nombreuses propriétés. Nous nous bornerons à dire <|u^on a étendu la définition de la fonction r(a) au cas où a est négatif et même imaginaire, et nous signalerons la formule simple
.[logr(a;] =
d^où Ton déduit aisément l'exiiression de r; sous forme de pro-
duit infini
f~,-"jï[(-^)---].
c étant la co/i5/a/i/^ dite <i'^w/e/- (c = o,5772iDt)64...).
Les fonctions B et F permettent d'exprimer des intégrales déCnies qui se rencontrent fréquemment dans les applications; voici deux exemples.
91. Calcul d'intégrales. — Soit à calculer Fintégrale
Jo
qui est évidemment finie et déterminée si m > o, /« > o, /? > o. Posons
XV ^ y ou X = yf\ nous avons
102 PREMIERE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTEGRAL.
Ainsi :
92. Intégrale de Dirichlet. — Soit à calculer Tintégrale mul- liple
J = Ç Ç Ç x^-^ y^-^ z1-^ dx dy dz (x, ?, 7 po^^ilif^),
dans le champ limité par le trièdre positif des axes de coordonnées et par la surface (*)
/j.\ w /y\« / z\/'
[âj -^[tj -^[c) =' ('«:«./> positifs).
Faisons un changement de variables en posant
(ir-^ (î)-=- (0'=^-
On aura
J =
mnp
P . y
JJJV" 'r,n \n 'd\dr,dX,,
le champ étant le tétraèdre OABG {fig* 4^) limité par le trièdre
Fig. 45.
[)osilif des axes OÇ, Ot,, Os et par le plan
(') Cette intégrale triple donne, comme cas particuliers, le volume et le moment d'inertie du champ par rapport aux axes de coordonnées
C f Cdx dy dz et f f f-^^ ^f^ <' f'- -^ f f f^' ^^ ^■>' ^'^-
CHAPITRE IV. — FON'CTIONS EULÈRIENNES. Io3
ComiTiençons Fintégration par rapport à IJ; ÇetT, clanl fixes, les lîniîles de Ç sont o et i — Ç — r^; et Ton a
r r r --1 ?-i î-i
r intégrale double ayant pour le champ l'intérieur du triangle OAB. Klle s'écrit donc
Dans rinlégraie (entre crochets) par rapport à t^, où Ç est regardé comme constant, posons
r^ = u(\ — ;), d'où dr^ — du{\ — \)\ l'expression totale devient
V •■0 L* 0 J
c'esl-à-dire
/•»«_, ^ + 1 /•» ^», "^
R / Ç/« (i — J)" /'rf; / M" (i-'U)Pdu
Y \m n p / \n p /
Donc enfin, en remplaçant les B par leurs expressions à l'aîde des r, on a
rnnp y WiL + P. + I + ,) T (ê + ï + ,) \w n p / \n /> ]
d'où, en réduisant el observant que F ^-'- + i j — -' T/-^ j,
I04 PRliMlËRE PARTIE. — COMPLEMENTS DU CALCUL INTÉGRAL.
93. Par exemple, le volume du huilième de l'ellipsoïde
|
a* |
+ |
b^ ^ ci |
= I s^obtient en fa |
isant dans celte fc |
|
|
m = n |
^P = i, |
a=3=ï=L |
|||
|
ce |
qui donne |
abc |
|||
|
Or |
on sait q |
"'{'.) |
est égal à |
y/7î^ de plus |
|
|
donc |
■•a)= |
J =T. |
abc |
ce qui donne -izabc pour le volume total.
94. Transcendance du nombre e. — Le nombre e ne peut être racine d\me équation algébrique à coefficients entiers : voici, de ce théorème, dû à Henni le, une démonstration très simple qui repose sur deux remarques préliminaires.
(a). Posons
cp(^; = e-^^/'[(i-3)('2-5)...(/i — ^)1/'^S
n dp désignant des entiers positifs, et considérons l'intégrale
On peut écrire, en développant ^{z) suivant les puissances croissantes de -s, et désignant par B| , B^, . . . des entiers,
c'est-à-dire
lo = (n! )/'+» r(/> -4- i)-h Bi r(/? -t- 2)-+-. . .,
d'
ou
-^,Jo = (/^î)p-^l-^(/>^I)Bl-^(/>-M)(/,-^2)B,-^...,
CHAPITRE IV. — FONCTIONS EiXÉRIENNES. toS
Cl par suite, ce qui suffira pour la démonstration,
( I ) — ^ Fo = (/i! )/'-^»rh entier mullipic de (/; -r- i).
(6). Considérons, en second lieu, l'intégrale
1/1= f oiz)tlz, ' /i
où h csl un entier positif, au plus égal à n.
On la ramène, comme la précédente, aux fonctions F, en posant
ce qui donne
1/, = l e-"-'H II -4- //)/'[(! — M — h){'jL — H — h ). .An — u — /<)]''+* û?a.
Parmi les facteurs élevés à la puissance /> -H i , il }' a un fac- teur uP^\ puisque h est compris entre o cin (inclus); on a alors,
en ordonnant le polynôme en u sous le signe / , suivant les puissances croissantes de «,
U = t-nc, r(y, -H 9.) -h G. r(/-> -V i }-t- . . .], Cl , Cj, étant des entiers. On en conclut
(2> c^* —^\h=^zh entier multiple de (/? ■+■ i).
95. Cela posé supposons que e satisfasse à Téquation (3) Ao-H A,e-h Aie*-t-.. .-^- A«p" — o,
les A étant des entiers. Multiplions les deux membres de (3)
par -^loî l'entier n qui figure dans Iq étant le degré de Téqua-
lîon (3), et l'entier p étant laissé provisoirement arbitraire. On peut écrire le résultat, en remplaçant, dans le terme en e*, Tin-
léffrale lo, qui est / ^{z)dz, par f (p(3)rf:;-f- / o{z)dz,
I06 PREMIÉRK PARTIE. ~ COMPLKMKNTS DU CALCUL INTÉGRAL.
c'est-à-dire par l>i H- / o{z)dz^
Or, traprùs (i) et (2), la somme des lermes de la première ligne est
( )) Ao(n !)''-*-* ± entier multiple de {p -1- i).
Supposons maintenant que (/? + i) soit un nombre premier quelconque, supérieur à tous ceux qui divisent Ao et /i! : il esl clair que l'expression (5) sera un entier non nul; je dis main- tenant que Ton pourra prendre le nombre premier /> H- 1 assez j;rand pour que les lermes de la seconde ligne de (4) aient une somme aussi petite que Ton voudra.
En elFet, dans l'intégrale
I e--zi'[(i — z)(iL— 3)...(/i — 5)]/'-*-'^3.
où l'on a o<;A^ n, les lermes 5, (i — s), ..., (n — z) sont compris entre — n et H-/2; la valeur absolue de chacun d'eux est donc inférieure à n. D'ailleurs e~^ reste inférieur à i, et par suite le module de l'intégrale est inférieur à
et a fortiori à c'est-à-dire à
Le module de la somme des termes de la seconde ligne de (4) est donc inférieur à
— -/i«-Hi,i(/i + i)/i(itio(JA,c-h modA*e»4-. . .-h modXne»). P-
c'est-à-dire ù
(6) --, ,
CHAPITRE IV. — FONCTIONS EDLKRIENNES. 107
1^1 étant une constante indépendante de/7. Or on sait (n" 88) que
e tendant vers zéro pour/? infini. L'expression (6) s'écrit donc M — !
J'ItlT. ( r ) ( I-
0
cl Ton voit qu'elle tend vers zéro lorsque p tend vers l'infini, (/? -h i) parcourant la suite des nombres premiers.
En résumé, dans le premier membre de l'équation (4), la pre- mière ligne est un entier non nul; la seconde est une quantité c|iie Ton peut faire aussi petite que Ton veut : la somme des deux Itg^nes ne peut donc être nulle, et l'on en conclut l'impossibilité de réquation (4), c'esl-à dire de l'équation (3). c. q. f. d.
Celle élégante démonstration est due à M. Hilberl.
DEUXIÈME PARTIE.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGINAIRE; FONCTIONS ELLIPTIQUES ET APPLICATIONS.
CHAPITRE I.
THÉOUIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES.
I. — g£nêralités.
93. La deuxième Partie du Cours a pour objet l'étude générale des fonctions d'une variable imaginaire ou fonctions analytiques, (Tome 1, n° loo), el, comme application directe, celle des fonc- tions elliptiques.
Si les quantités imaginaires ont joué, en Algèbre élémentaire et même en Géométrie, un rôle important, elles ont, en Analyse, un rôle capital : grâce à leur emploi systématique, la Science a subi, au cours du xix® siècle, une transformation complète, qui a trouvé son origine et ses développements fondamentaux dans les travaux de Cauchy.
96. Fonction analytique. — Nous savons (Tome I, n° loo) qu'une expression P{x,y) -h iQ{^yy), où P et Q sont des fonc- tions réelles de x ely, esl dile fonction analytique de l'imagi- naîre z =^ x -\-yi, si l'on a identiquement
!IO OKIJXIEMË PARTIE. — FONCTIONS D L'NK VARIABLE IMAGINAIIIH.
celle fonclion admet alors, par rapport à ^, une dérivée, qui e>t âP .âQ r)x dx
97. Uniformité. — Une fonclion analytique a été dile niono- drome ou uniforme dans une région R du plan, lorsque le point ;;, c'est-à-dire le point de coordonnées rectangulaires x ely, étant assujetti à rester dans cette région, la fonction prend, en chaque point, une valeur unique, indépendante du chemin suivi par le point z.
Ainsi (Tome I, n" I6i), la fonction {z — a)"*, pour m non entier, n'est pas monodrome autour du point ^ = a : si z décrit, dans le sens posilif, un contour fermé entourant une fois ce point « la fonclion reprend, au point de départ, sa valeur initiale multi- pliée par e^"^"^^. En particulier, y/s — a se reproduit multiplié par — I, c'est-à-dire change de signe.
98. Continuité. — La fonction f{z) a été dile continue pour z^=Zq (Tome I, n" 16o), lorsque, étant donné s aussi petit quoii veut, on peut assigner un nombre y; tel qu'on ail
■2) iiio(lf/(;;o-»-/i) —/{zq)] < £,
pour toutes les valeurs de h dont le module est inférieur à 'i\.
Supposons que, pour z = Sq, /{^) admette une dérivée finie f'{Zii) : c'est dire qu'étant donné t\ on peut assigner r/ tel que l'on ait
mod
pour toutes les valeurs de h de module inférieur à tj'; il en résulte immédiatement que /(s) est continue pour z =: z^^
La fonclion /(s) est dite continue , dans une région R du plan, si elle est continue pour tous les points de cette région.
Remarque. — Soit posé
z = X'^iy, ZQ = XQ^iyQ, h = k-^il, /(-5) = P-H«Q.
Si Ton observe que mod(A -h Bi) est au moins égal à mod A et à
N
CHAPITRE 1. — THEORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 111
modB, riaégalité (a) entraîne celles-cî :
mod[P(a?o-f- A-, j'oH-/)— P(:ro,^o)| < s,
pour toutes les valeurs réelles de A: et / telles que y/A*^ -f- /- soit inférieur à r,, et, a fortiori, pour les valeurs de A" et / inférieures
à — ^ en valeur absolue : sous une autre forme sîy(^) est continue
pour z = Zoj P(Xyy) et Q(^,^') sont des fonctions continues des deujc variables x et^, pour x = x©, y =yo- La réciproque esta peu près évidente.
De même, si /(z) est continue dans une région R, les fonc- tions P(^, J^), Q(^îJ^)) et, par suite, le module y/P^-j- Q-, sont fonctions continues de x ety dans R.
Comme corollaire, mod/(3) admet un maximum fini M dans toute région à Tintérieur et sur le contour de laciuelle la fonc- tion y"(c;) est continue (Tome I, n®6).
99- Fonctions holomorphes. — La fonction /{z) est dite hoto- morphe dans une région du plan si elle y est uniforme et con- tinue, ainsi que sa dérivée.
Ainsi, les polynômes entiers en z^ les fonctions e^, e=', cos^, ixnz sont hoiomorplies dans tout le plan; les fractions rationnelles le sont dans toute région qui ne comprend aucune des racines du polynôme dénominateur, car, en ces points, la fonction, devenant infinie, cesse d'être continue.
Les Jonctions log(5 — a), yjz — a sont holomorphes dans les régions où elles sont uniformes, c'est-à-dire (Tome I, n° 164) à l'intérieur de tout contour simple ne comprenant pas le point ;î=a.
Les séries de puissances sont holomorphes à l'intérieur de leur cercle de convergence, puisqu'elles sont, dans ce cercle, mono- dromes et continues, ainsi que leurs dérivées de tous ordres (Tome I, ho« 142-Uo).
L»e produit de deux fonctions holomorphes dans une région est évidemment holomorphe dans la même région.
100. Points critiques. — On nomme point ordinai e d'une
112 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS DUNE VARIABLE IMAGINAIRK.
foncllon f{z) un point tel que, dans son voisinage, c'est-à-dJre à l'intérieur d'un cercle de rajon suffisamment petit ayant ce point pour centre, la fonction soit holomorphe. Un point non ordinaire est dit critique ou singulier.
Un point critique est isolé lorsqu'on peut l'entourer d'un cercle de rayon non nul, ne contenant aucun autre point critique.
Le point critique isolé peut être de diverses natures.
i'* Point de branchement, — C'est un point qui empêcli»^ l'uniformité de la fonction dins une région comprenant ce point : en d'autres termes, si l'on fait décrire à la variable z un petit con- tour fermé entourant le point considéré ût, et si Ton suit par con- tinuité les variations de la fonction le long de ce parcours, on revient au point de départ avec une valeur de la fonction dilTé- rcnte de la valeur initiale.
Ainsi, le point a est un branchement pour les fonctions log(3 — a), v^w — a, et [z — a)'^ lorsque m n'est pas entier (Tome I, n° 164); les points z=z±i sont des branchements pour ^z^ -h I , c'est-à-dire pour s^/z -^ i \/z — i,
2** Pôle, — C'est un point où la fonction f{z) devient infinie,
mais de telle sorte que son inverse -p- — resle holomorphe au vol-
sinage de ce point «, c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle de centre a et de rayon non nul.
Ainsi, le point .3 = 1 est pôle des fonctions , ' — r, mais
^ ^ z — \ (5 — 1;«
c'est un point de branchement pour .
Plus généralement, pour une fraction rationnelle, quotient de deux polynômes A(5) et B(;;), que l'on peut toujours supposer sans racine commune, les racines (ou zéros) du dénominateur B(v) sont évidemment des pôles, puisque k.{z) : B(3) devient infini en un de CCS points a, tandis que B(r):A(3) reste holomorj>he an voisinage de a.
De même pour la fonction lano^^, c'est-à-dire ï^^, les zéros
^ COS5
de cosw, à savoir (Tome I, n" Io8, corollaire i") les poinis ^^=7^ + /*'^) sont des pôles, car tang^ y devient infinie, et la
CHAPITRE I. — THEORIE DES FONCTIO> 8 ANAl YriQl'ES. Il3
fonclion inverse, -^-^* reste évidemment holomorphe autour de chacun d'eux.
3** Point singulier essentiel. — C'est un point critique, non pôle, tel que la fonction soit holomorphe entre deux cercles ayant ce point pour centre^ et dont le moins grand a un rayon aussi petit qu'on veut.
m
Par exemple, Torigine ^ = o est point essentiel pour e' : cette loDction, en effet, est holomorphe enlre deux cercles quelconques îivanl l'origine pour centre, et, pour prouver que ce point n'est ni point ordinaire, ni pôle, je vais prouver que la fonclion y esl indéterminée (*).
m
En effet, les points pour lesquels e" prend une valeur A sont Tournis par la formule (Tome I, n** lo8)
— = loiîA -h -i/ir/, ou 5=, 1 -, — :f
z ® logA-haATrt
k désignant un entier arbitraire, et il est clair que l'on pourra choisir h assez grand pour que niod^ soit aussi petit que l'on voudra : la fonction prend donc une valeur arbitraire, A, en des points aussi voisins que l'on veut du point ^ = o, qui est dès lors un point d'indétermination.
Points non isolés. — Les points critiques d'une fonction peuvent être non isolés; ainsi, le point z = o est critique non
isolé pour la fonction i : sin -> parce que, les pôles de cette fonc- lion étant les points z = -r— > il est impossible d'entourer l'origine
d'un cercle assez petit pour ne contenir aucun d'eux.
Dans d'autres cas, les points critiques peuvent former des lignes continues.
Remarque. — Soit 'f (-) une fonction holomorphe de z^ quand z reste dans une région R; le point u = 'f (^) reste alors, sur le
(') On démontre que cette propriété d'indétermination est caraciérislique des pi»inls essentiels.
H. — II. 8
1(4 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'lNE VARIABLE IMAGINAIRE.
plan de la variable m, dans une région R' : sî/(m) esl fonclion liolomorphe de u dans R', il est clair que /[?(^)] sera fonction liolomorphe de ;; dans R.
Donc, les seuls points critiques possibles de la fonction rie fonction /[o{z)'\ sont: i" les points critiques de ^(5); 2° les \aleurs de z auxquelles correspondent, par u = ?(^)» des valeurs (le u critiques pour/(w).
Ainsi, les seuls points critiques possibles de logcp(5) et de \^^{^) sont les points critiques et les zéros de 0(5).
101. Il y a entre un pôle ou un point essentiel et un point de branchement une différence fondamentale. Soit, en effet (Jig- 46),
Fis. ',G.
une région R ne contenant qu'un point critique a de f{z); cii- lourons ce point d\in petit cercle. Si a est pôle ou point esscn> licl,/(3) est holomorphe dans la région, non ombrée, comprist» entre le cercle et le contour de R; si a estbranchemenl, /*(c), par (•xemple, log(3 — a) ou ^z — a, n'est pas monodrome, ni, dès lors, holomorphe, dans cette région, puisque Ton peut tourner autour de a sans sortir de la partie non ombrée.
Une fonction, holomorphe au voisinage de chaque point dune aire comprise entre deux contours simples, peut donc n'être pas holomorphe dans cette aire; au contraire, il esta peu près évident qu^une fonction, pour laquelle tous les points d'une région à con- tour simple (Tome 1, n** 164) sont ordinaires, est holomorphe dans cette région.
102. Fonctioiis méromorphes. — Une fonction monodrome dans une région R et n'ajaot pas, dans cette région, d'autres points critiques que des pôles, est dite méromorphe dans R.
CHAPITRE I. — THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 1 l5
Les frac lions rationnelles, la fonction tangs et son inverse colv sont méromorphes dans tout le plan : car elles sont uniformes et n'ont, comme points critiques, que les points où elles deviennent infinies; or ceux-ci sont des pôles (n** 100, 2**).
L'inverse i '/{^) d'une fonction /(^), liolomorphe ou niëro- morplie, est méromorphe : car elle ne cesse d'être holomorphe qu<; pour les zéros de/{z) [c'est-à-dire les points où f{z) s'annule], et ces points sont évidemment des pôles de 1 -/(z).
De même, le quotient de deux fonctions, méromorphes dans une région, est méromorphe dans la même région; ses pôles po^- sibles sont les pôles de la fonction numérateur et les zéros de la fonction dénominateur (*).
103. Point à rinflui. — On dit q«e /"(:;) est holomorphe à l'in- fini, ou admet le point ù Tinfini comme point ordinaire, lorsque lu
fonction de u^/(-]y admet comme point ordinaire le point m=o.
De même, le point à l'infini sera, pour/(w), branchement, pôle ou point essentiel, selon (|ue le point w = o sera branchement,
pôle ou point essentiel pour / ( - )•
Par exemple, le point à l'infini est essentiel pour c'"^ parce que
u=zo est point essentiel (n** 100, S») pour la fonction e" ; c'est un pôle pour z- et un point ordinaire pour^ ^^ » parce que ^/ = o est un pôle pour — et un point ordinaire pour 1 — a-.
II. - INTÉGRALES DÉFINIES IMAGINAIRES.
104. Définition de l'intégrale imaginaire. — Soit/(z) une fonc- tion analytique de la variable ^, continue dans une région; suppo- sons que 5 aille de ::;o ^ ^ ^" suivant un arc déterminé et fini, 1^
(>) Noos supposons, provisoirement, que les deux fonctions n'ont aucun zéro ou aucun pôle commun, car, en un tel point, leur quotient se présenterait sous Torme indéterminée. Nous verrons plus tard que cette restriction est inutile.
Il6 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS 0*l'NE VARIABLE IMAGINAIRE.
(le la région : marquons sur celle ligne L, en allant de Zq vers Z, (les points successifs .:?o; ^i? •••? ^/m •••> ^pj Z; dans chaque inter- valle >3,^^«+i, prenons sur L un point quelconque Ç„, et considé- rons la somme
Si nous augmentons le nombre de points Zfi de manière que le module de toutes les différences z„^t — z„ décroisse indéfinimenl,
Fig. 47.
je dis que la somme S tendra vers une limite, indépendante du choix des points z-n et ^a sur la ligne L. Écrivons, en effet, eu mettant en évidence les parties réelles et imaginaires,
f{x + iy) = P^x, y) -H eQ(r, y\,
et portons ces valeurs dans la somme S; le terme général de celle-ci, à savoir {z,t^\ — ^//)/(^/i)î s'écrit :
[Xn^X — Xn-^ i{yn-^\— yn)\ [ P(ï«, ^î/* ) -+" 'Q($«, T),, )],
el, en séparant le réel de Timaginairc,
(a:,n.i — a:„)î* (5/1,71//) — (j' /Ml— ^'w)Q(î/i7 fïn),
Or la somme des parties réelles
^(a:„4-i — ^/i)l\ï«, ï;/i) — (r«-»-i-J«)Q(?/ii^i«) n'est autre chose, à la limite, qu'une intégrale curviligne prise le
CHAPITRE I. — THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUKS. I 17
long de l'arc L (n*» 60), à savoir
de même la somme des parties imaginaires a pour limite l'intégrale curviligne
i f {Qdjc-^P dj),
de sorte qu'il vient finalement
(•2) limSr= r (Vdx^qdy)-^ i f {() dx -{- P dy)
Les intégrales curvilignes ont un sens, puisque l'on suppose /( 3) et, par suite, P et Q continues le long de L, et que l'arc L est fini. La limite ainsi déterminée se représente parle symbole
et se nomme V intégrale de la fonction f{z) le long de Tare L.
lOo. Cette définition, semblable à celle de l'intégrale définie réelle, conduit aux mêmes conséquences évidentes.
1° Si l'on divise Tare L en deux portions J^i et L2, on a évi- demment
f- h f-
«'l «^^r, «Y.
2" L'inrégrale suivant L en allant de c© à Z est égale et de signe contraire à l'intégrale prise suivant la même ligne^ en allant de Z à ^0 {voir aussi n° 59).
3® Si M désigne le maximum du module (') de /{z) sur la ligne L, on aura
modS 1 IVl[mod(3i— ;5o) ■+- mod(5i — Zi) -h. . .-h inod(Z — <3/,)J,
car le module d'une somme est au plus égal à la somme des mo- dules.
(') Un tel maximum existe, puisque /{z) est continue dans une région qui comprend L (n<» 98).
lis DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS DUNE VARIABLE IMAGINAIHB.
D'ailleurs mod(5| — ^o) est la longueur de la corde ZQZ^y et ainsi de suite; la somme de ces cordes étant au plus égale à Tare ZqJj, on aura, en désignant par L la longueur de l'arc d'intégration et en passant à la limite,
106. Changement de variable. — Posons z=:F(u)^ en dési- gnant par F {il) une fonction analytique de u^ et supposons que le point w, lorsque le point ;; décrit un arc L, décrive un arc A; admettons de plus que la relation z = V{u) fasse correspondre, à un point z de L, un et un seul point u de A, et réciproquement.
Dans ces conditions, on démontre sans difficulté la formule
ff{z)dz= ff[V{u)\¥'{u)clu.
On part, pour cela, de l'expression (2) de l'intégrale proposée, mise sous la forme
f (V-^iq){dx-^idy\
ce qui ramène le changement de variable à une opération analogue dans une intégrale curviligne.
Théorème fondamental de Cauchy,
107. Théorème. — Toute la théorie qui va suivre a pour base une proposition importante et célèbre, due à Cauchy, et qui s'énonce ainsi :
Soit f{z) une fonction holomorphe dans une région R du
plan, à contour simple : l'intégrale 1 f(z)dz, prise le long
d'une ligne fermée quelconque, tracée tout entière dans la région R, est nulle.
Par contour simple on entend (Tome I, n° 164) un contour, sans point multiple, qui peut être tracé d'un seul mouvement
CHAPITRU I. — TIIÉORIE DES FONCTIONS ANALVTIQIES. ÏIQ
conlinii; Taire inloriciire à un cercle est à contour simple, Faire comprise enlre dcii\ circonférences concenlriques est à contour non simple ou complexe.
Désignons par y une ligne fermée de la région R, supposée décrile, par exemple, dans le sens positif; on a, par ce qui précède,
(3)
« 'v «-y «/y
D'après rhypolhèse, /{z) est holomorphe à rinlérieur du con- tour V et sur ce contour, c'est-à-dire que les fonctions P et Q, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, sont bien déterminées et continues à Tintérieur de y et sur y; on peut donc (n** 66) appliquer aux deux intégrales curvilignes du second membre de (3) la formule de Riemann (n® 64), ce qui donne
.(<^"'- ''■*—/,(("-:'?)"'*■
C étant Taire enveloppée par le contour y. Mais, d'après les iden- tités fondamentales du n^ 96, à savoir,
Oj' ôy ôy dx
les deux intégrales doubles ci-dessus sont identiquement nulles; il en est donc de même de deux intégrales simples, ce qui, d'après (3), démontre le théorème.
108. Extension. — Le théorème fondamental peut être étendu à un contour complexe.
Supposons que /(s) soit holomorphe dans la région (non ombrée) comprise entre un contour simple y et des contours simples yi , ya, ..., intérieurs à y {fig- 48), ainsi que sur ces con- tours.
Joignons (^fig* 49) deux points voisins de chaque contour inté- rieur à deux points voisins sur le contoury, par des lignes infiniment voisines /7i/i, m! n\ ...; nous formons ainsi un contour simple, à Tintérieur duquel fi^z) est encore holomorphe. Nous pouvons
I20 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS D UNE VARIABLE IMAGINAIRE.
donc appliquer à ce contour, décrit par exemple dans le sens des flèches, le théorème de Cauchy, ce qui donne évidemment :
ff{z)dx^ f f{z)dz-k^ ff{z)dz^ f /{z)dz -.-,,. ^o.
Or, quand les deux bords, mn et m'n', de chaque coupure se
Fig. 4-^.
rapprochent indéfiniment, la fonction /(:;), holomorphe dans la région donnée, prend, à la limile, les mêmes valeurs le lonj»^
(le mn et de m'n', de sorte que les deux intégrales 1 cl j ,
«' /Kft • Ht' H'
j)rises en sens contraire suivant la même ligne, se déUuiscnl
Fig. 4o-
(nMOo, 2«). II reste c'oïc
fAz)dz-^ f/iz)dz-i^ ff{z)dz-^.,,^o, "T *^r. -^Tt
les contours yi et v^ étant décrits dans le sens négatif, tandis que
CHAPITBE I. — THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES.
Y l'est dans le sens positif. On peut aussi écrire
ff{z)dz= ff{z)dz-^ fAi)dz- ^r ^Y. ' ' Y'.
les contours étant tous décrits dans le même sens.
C'est Tex tension chercliée : l'intégrale suivant le contour ejctérieur est égale à la somme des intégrales suivant les con- tours intérieurs,
109. Corollaire I. — Soit/(^) une fonction liolomorphe dans une région à contour simple R; désignons par z^a'L et 5o6Z deux lignes, allant d'un point z^ à un point Z de R, sans sortir de
celte région {Jig. 5o). On a, en appliquant le théorème fonda- mental au contour simple que forment ces deux lignes,
/ /{Z)dz-^ f f(Z)dz=0 (Ml f =f .
En d'autres termes, Tinlégrale de /(3), le long d'une ligne allant de ^o à Z sans sortir de R, est indépendante du choix de cette ligne.
110. Corollaire II. — D'après cela, si f(z) est holomorphc dans une région à contour simple R, Tinlégrale
prise le long d\ine ligne quelconque, L, allant de ^o À u et située dans R, est une fonction uniforme de sa limite supérieures, dans
I>'>. DEUXIÈME PARTIR. — FONCTIONS d'uNR VARIABLE lUAGINAIRK.
la région R : sa valeur est en effet unique, puisqu'elle esl(n° 109) indépendante du choÎK de la ligne L. Je dis qu'elle est fonction liolomorpke de u^ et que sa dérivée est f{u) : il suffira d'établir ce dernier point, car l'intégrale I(i£) ayant une dérivée finie sera continue (n** 98) dans R; elle sera dès lors, dans cette région, uni- forme et continue, ainsi que sa dérivée y(«), donc liolomorphe. Cherchons donc l'accroissement AI de I quand on change u en u + A;/; soit L une ligne quelconque d'intégration allant de Zq
à u{Jig. 5i); poi:r ligne d'intégration de ^o à ^/-j-Am, prenons L, suivie du segment rectiligne qui joint les points u et m-[-Am. On a alors
^ Il -f- Ail y, w -4- Ali ^'t-*- Ail
(4)Ar=/ f(z),lz=-- 1 f{a)dz+ [/(z)-/(,u)],U.
Au dernier membre, la première intégrale esty(£^)Ai/, car a
/^ « 4- An , et / dz est égal, parla
définition même de l'intégrale imaginaire, à ^u. D'ailleurs /{z)
est continue pour z = u; on peut donc prendre ^u assez petit
pour que, z restant sur le segment u w-4- A«, le module de
f(z) — /(w) demeure inférieur à tout nombre e, et Ton a dès lors
(nMOo, 3«)
^ ii-f- Ail mod / [/{z ) ~-/(u )]dz <C,z modltiy
puisque la longueur du segment d'intégration est mod At/. La rela-
cil A PITRE I. — THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 123
lion (4) donne par suite :
modrAÎ — /(m) Am] < g inodA//, ou
ce qui établît que ~ a pour ïimiie /{ii) quand Aa tend vers zëro;
la dérivée de I(w) est doncy(M). c. q. f. n.
Ainsi :
U intégrale d^ une fonction Ji^z)^ holomorphe dans une région €i contour simple, est une fonction de sa limite supérieure 5, /toloniorphe dans la même région; sa dérivée par rapport à z
rslfiz),
111. Corollaire m. — Si F{z) est une fonction holomorphe dans la région R, ayant pour dérivée f{z)^ on aura
f f(u)du^-r(z)-F(z,).
lin effet, les deux membres, ayant même dérivée par rapport a z, ne peuvent (Tome I, n° 155, Bema rq ue) différev que d'une con- stante, laquelle est nulle, puisque ces deux membres sont évidem- ment égaux (à zéro) pour z = Zq.
De là résulte également qu'on peut appliquer à Tintégrale
/ f(u')du l'intégration par parties.
112. Remarque. — Le théorème fondamental de Cauchy sup- posef{z) holomorphe à l'intérieur du contour d'intégration y, et sur y; il est généralement en défaut si cette condition n'est pas remplie.
— -^ prise, dans le sens
posîtiT, le long d'une circonférence G, de rayon R, ayant pour cenlre le point z = a. On a, sur la circonférence, en désignant par o l'argument de z — a^
z — a ~ R(cos'>p -+- / sino ) — l{ e'"?, (iz = \\ie'^dz,\
I2.{ DEUXIÈME PARTIE. — FOXCTIONS d'uNB VARIABLE IMAGINAIRE.
d'où ce résultat à retenir :
— -^ = i I do = iTziy
puisque ç augmente de 2- quand on décrit la circonférence dans le sens positif.
Jj'intégrale n'est donc pas nulle; on voit d'ailleurs qu'elle ne dépend ni du rajon du cercle, ni du choix du point de dépari de l'intégration, Comme cela doit êlre en vertu du théorème de
Cauchy étendu (n*^ 108). En effet, la fonction étant holo-
morphe entre deux circonférences C et C de centre ;; = a, on a
J^^z — a J^,z-a
quel que soit le point de départ.
2® Au contraire, l'intégrale / ^. prise, par exemple, le long
d'une circonférence de centre :î = o et de rayon R, dépend de II et de l'argument Oo du point initial, car si l'on pose
z^We'?, dz=\\e'^do, /I^zL-y/Kc*,
on a
III. - INTÉGRALE DE CAUCHY.
113. Formule de Tintégrale de Cauchy. — Soit/(s)nne fonc- tion de ^, holomorphe à Tintérieur d'un contour simple y, et sur ce contour; désignons par a un point quelconque intérieur à v : je dis qu'on a
En effet, la fonction de 5, -^^^ ~J\^)^ ^^^ évidemment holo-
CHAPITRE I. ~ THÉORIE DES FON'CTIONS ANALYTIQUES. 12 J
morphe dans la région à contour complexe comprise entre le con- lour Y et une circonférence quelconque Â% décentre a, inlérieure à y; on a donc, par le théorème de Cauchy étendu (n** 108),
Jy z — a ./, z^a
L'intégrale qui figure au second membre est indépendante du rayon r de la circonférence Â*, puisque l'intégrale égale qui figure au premier membre n'en dépend pas; nous aurons établi qu'elle est nulle si nous prouvons que son module est manifestement inférieur à toute quantité donnée, lorsque /• est choisi assez petit.
Or, sur la circonférence A", on peut poser, comme au n" 112,
( 2 ) -3 — rt = /• e-'?, dz =z rie'^ d'^y
d'où
z étant, au dernier membre, supposé remplacé par sa valeur Cl H- /-e'?, sur k. Mais la fonction /(;;) est continue pour<3 = a, on peut donc prendre /assez petit pour que, z restant sur la circonfé- rence A-, mod[/(w) — /(^)] demeure inférieur à tout nombre £, et Ton a dès lors
1110(1/ [Az)-/{a)\do<t d'^ = 'XT.i,
ce qui établit la formule (i). On peut écrire (i) sous la forme f^^^ciz=Aa)r-'^;
Jy ^ — ^ -^ \'y --«
or le second membre, en vertu du théorème de Caucliy étendu, est égal à /"(a) f — ^^» c'est-à-dire, par (2) (ou comme on l'a vu
au n° 112), à 27zi/(a)^ en supposant les contours décrits dans le sens positil.
On a donc finalement la formule de LUntégrale de Caucliy :
ri) f^~^/= = -'-if(-)'
^ étant décrit dans le sens positif, et a étant intérieur à 7.
['iG DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS DUNE VARIABLE IMAGINAIRE.
Si le point a élait exléricur à y, le premier membre de (3) serait nul, puisque /(s) \(z — à) serait holomorphe dans y et sur y.
Extension à un contour complexe. — Si f{z) est holo- morphe dans la région R, comprise entre un contour y© et des contours v, , y-i? ••• {J^g- ^2), et sur ces contours, on a, en désignant par k une petite circonférence avant pour centre un points de K (n" 108),
,1 z — a J J J
Or, d'après (3), / ;;;_J dz est égal à 'nzif{a)\ ce qui donne :
formule qu'on peut écrire
( 3 bis ) I /-^^ (Iz ^ *.7: i/{ a ),
en convenant de représenter par / la différence entre l'intégrale prise suivant yg, et la somme des intégrales prises suivant yi,
Kig. 52.
y^, . . ., tous ces contours étant décrits dans le sens positif.
114. Expression des dérivées. — Dérivons une fois, deux fois, ..., par rapport à a les deux membres de l'équation (3) ou (3 615), en
appliquant, sous le signe / , la règle ordinaire de dérivation, que
CHAPITRE l. — THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES.
nous justiGerons tout à Theure. 11 vient
(M) /Wa)=~!-. f-Jl^dz,
Toutes les intégrales, dans les seconds membres, sont évidem- ment des fonctions uniformes de a, car leurs valeurs, pour une valeur de a, sont parfaitement déterminées tant que le point a n'est pas sur le contour y : chacune d'elles, ayant pour dérivée la suivante, est dès lors une fonction analytique et continue de a. Donc : Les clérii^ées d'une fpnction holomorpke dans une région, à contour simple ou non, sont holoniot plies dans la même région, puisque chacune d'elles y est uniforme et continue^ ainsi que sa dérivée.
Reste à justifier la dérivation sous le signe / , pour une fonc- tion du type
^^'"-.iéé^.-"-
n étant entier et positif.
Or on a, en formant {p(a -h- k) et retranchant 'f (a),
d^ailleurs, l'identité classique de la division donne I I h Aî
z—u — h z — a (z — a)^ (z — a)^{,z — a — h)^
elj en dérivant (n — i) fois les deux membres par rapport à a, on Irouve innincdiatement
1 _ nh A2
{z — a — fiy^
128 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS d'uNE VARIABLE IMAGINAIRE.
P(j, a, h) étant un poljnomc entier en z^ a, h. Donc
= n
J^^z — ay^^^z — a — hy- ^ ' "> ^
J (z-ar-*-^
L'intégrale qui est le coefficient de h au second membre a son module fini : car, z restant sur Je contour y, et h demeurant voisin de a, à l'intérieur du contour, les modules des quantités /{z), (z — a)~"~*, (:; — a — A)"", V{z,a,h) sont évidemment limités et il en est de même de la longueur du contour y; donc (n® lOo, 3"), le module de l'intégrale considérée est fini : il en
résulte que la limite, pour h = o, du rapport j — — ->
c'esl-à-dire la dérivée de ©(a), est bien la quantité
conformément à la règle de dérivation sous le signe / .
115. Remarque. — La formule de l'intégrale de Cauchy, (3) ou (3 bis)y
/(a) = --; f '^^dz,
montre qu'une fonction /(5), holomorphe à l'intérieur d'un con- tour Y et sur y, est déterminée en tout point a, intérieur à y, dès (|ue l'on connaît sa valeur le long du Contour : c'est là une pro- priété des fonctions holomorphes dont Je seul énoncé fait com- prendre l'importance.
D'ailleurs, les valeurs que prend une telle fonction le long d'un
contour, y, ne sont pas arbitraires, puisque l'intégrale f /(z)dz
doit être nulle, ainsi que toute intégrale du tvpe f /{^)^(^)dz,
tj)(w) désignant une fonction holomorphe dans y et sur v.
Soit au contraire /(z) une fonction définie arbitrairement en chaque point, z, du contour y, et continue sur ce contour.
CHAPITRE I. — THEORIE DES PONCTIONS ANALYTIOIES. lltf
L'inlégrale
■/( = )
-^r.i J^z -a
ei étant intérieur à y, définit une fonction de a évidemment bien déterminée : on reconnaît, comme plus haut, que sa dérivée est
: / -r — ^^--rzdz, et ainsi de suite: d'où l'on conclut encore que
la fonction de a considérée est holomorphe à l'intérieur de y. On aurait torl, toutefois, de la représenter par/(r3r), car en général sa valeur, lorsque n tend vers un point Zo du contour, ne tend pas
vers/(3o).
116. Corollaire II. — Les formules (4) et (5) fournissent une limite supérieure du module des dérivées /'(a), /"(a) ^ ..., à l'intérieur de v.
Soient, en effet, M le maximum du module Ae f{z) sur le con- tour (n® 98), 8 la plus courte distance de a au contour; on a, en vertu du n» lOo, 3%
L étant la longueur du contour y; d'où, par (5),
1 i-„/ ^ - l'^'-n ML
•211 0
«-Hl
Si V est une circonférence de centre a et de rayon R, celte for- jiitile devient
mo(l/-(r/)li^^^M.
117. Séries à termes analytiques. — On a défini au Tome 1 (n** 166) la convergence uniforme d'une série à termes analy- tiques : on dit que la série en z
Ui(z ) -h Ut{z) -h . . .-i- Uni Z) -h Uniz)
converge uniformément dans une région R, ou sur une ligne L, lorsaue étant donné e aussi petit qu'on veut, on peut assigner un entier N fonction de e seul, tel que le module du reste, ^n{^)t
l3o DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS DUNE VARIABLE IMIGIXAIRE.
soit < e, pour toute valeur de n égale ou supérieure à N, et toute valeur de z dont Taffixe est dans la région R, ou sur la ligne L.
Les ihéorèmes suivants sont d'une grande importance dans la théorie des séries :
Soit une série 8(2) = U\ {z) + ifi{z) -f-. . . , les ii,t{z) étant ries fondions holomorphes de z dans une région finie R de contour y simple ou non, et sur ce contour,
1" Si la série converge uniformément sur une ligne finie !. de la région R, son intégrale, le long de L, s^ obtient en faisant la somme des intégrales des termes de la série.
Il suffit, pour l'établir, de repérer le raisonnement fait au n®3l3 (lu Tome l pour les séries à termes réels.
2" Si la série converge uniformément sur le contour y, cette série et toutes les séries obtenues en dérivant une fois y deux fois, . . ., les termes de la première convergent unifor- mément dans toute région R' intérieure à R; chacune d* elles est la dérivée de la précédente; toutes sont des fonctions holo- morphes de z dans ^.
On a, en effet, en désignant par x. un point de R, et par q -{- i un entier positif,
S ( z ) __ Ui(z) iijjz)
{z — xyi-^^ [z — x)i-^^ {z — xy/^^
La série en z au second membre converge uniformément, comme la proposée, sur le contour y : car son reste, quand z décrit y, a son
module inférieur à ^— ^modR„(^), 5 représentant la plus courte
distance de x au contour. On a donc, d'après i**, en intégrant le long de y les deux membres de la relation précédente,
J^(z — x)^^^ J^(^z — xyi-^^
d'où, en appliquant à chacun des termes du second membre la formule (5), application légitime, puisque les Un{z) sont holo- morohes dans y et sur y,
CIIiPITRE I. — THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES. l3l
La série des dérivées d'ordre y, n^^^x) -^^ ii[?^ (x) -^ . . . , con- verge donc dans R; et, si Sf^-(^) est sa somme, on a
((>>
Je dis maintenant que la série en x^ Sf^^(j:), converge unifor- mément dans R'. En effet, d'après la formule (5), à savoir
n^, X yî r ".-J-") ,
le losle, //X, i-^) -r. . .. a pour valeur ^— . / ^^-!-^^ — -dz. quan-
lilé dont le module, lorsque x demeure dans R', est inférieure à T"^ /Ih-i ^^? H- désignant le maximum du module de R/i(:î) sur y, Lia
longueur de y, d le minimum de la distance à v d'un point de R' : «*omme a, pour n assez grand, reslc inférieur à e, en vertu de la c^onvergence uniforme de 8(5) sury, la proposition est établie.
En particulier, pour ^ = o, on voit que la série ii 1 (x) + ^/^(.r) + . . . rst convergente dans R, et uniformément convergente dans R'; si S(j:) esl sa somme, on a
S^:r) = «,(:r)-r-f/2(.r) 4-...= -U T- -^--
dz.
On reconnaît ensuite, <5omme au n<> IIS, que la dérivée de la fonction S^^^(^), donnée par l'intégrale qui figure au dernier membre de (6), est égale à l'intégrale qui donne S^^+*^(:r) : donc, enfin, la série proposée et les séries des dérivées successives de ses termes étant convergentes dans R, et ayant chacune la suivante pour dérivée, sont des fonctions holomorphes de x^ dans la ré- •^ion R. c. Q. F. n.
Remarque. — Cette théorie permet de démontrer à nouveau certaines propositions établies au Tome l pour les séries de puis- sances.
Une telle série, en effet, comme on l'a vu, converge uniformé- ment à l'intérieur et sur le contour de toute circonférence y inté- rieure au cercle de convergence; donc, d'après ce qui précède, la $érje formée par les dérivées d'ordre q de ses termes converge uoKovmémenX dans toute région intérieure à y; chacune de oes
|3ji deuxième partie. — FONCTIONS D'uNE VARIABLE IMAGINAIRE.
séries est la dérivée de la précédente, et toutes sont des fonctions holomorphes dans et sur v, c'est-à-dire dans le cercle de conver- gence, la circonférence de ce cercle pouvant être exceptée.
IV. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE.
H8. Série deTaylor. — Soit /(5) une fonction holomorplic à rintérieur et sur le contour d'une circonférence y de rayon R, ajant pour centre le point 5 = a; désignons par a -+- ^ un poini
Y intérieur à ce cercle. On a, d'après la formule de Cauchy (n** lïS)?
^^ ' 'XT,i J z — a — t
ce qui s'écrit identiquement :
(fi-l fa -1
'•' ^z — a)"'^ {z — ii)"{z — a — f)\* ou
'^^ iTuJ^z — a
Onpeut écrire, d'après les formules du n° H4,
(7) /(a + 0 =/(a) -i- t/'(a) -4-. . .+ ^ J^'^^ , /^-'(a) -H R.,
CHAPITRE I. — THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES. \V)
le reste R^ ayant pour expression
t^ r dz
"" = ^^i J/^'^ (z-a)'-(=-a-t) '•
je dis qu'il tend vers zéro pour n infini.
Soient, en effet, M le maximum du module Ae f{^z) sur la cir- conférence Y? '^ Je module de t : le point z étant sur y, mod(5 — a) est égal à R, mod(2 — a — t) est au moins égal à R — t; et Ton a, dès lors (n° 103, 3»),
Le dernier membre a pour limite zéro pour n infini, car t est inférieur à R, puisque le point a -\- t est à l'intérieur du cercle y.
La série qui figure au second membre de (7), prolongée indéfi- niment, est donc convergente et représente f{a H- /), à la seule condition que le point a -h ^ soit intérieur au cercle. C'est \di série de Taylor étendue par Cauchy aux fonctions analytiques.
En posant 5 = a -f- ^, d'où